La derivada del determinante de un producto de Kronecker

Question

Para una matriz invertible $A$, tenemos la identidad \begin{align} \dfrac{\partial \det A}{\partial A} = \det A (A^{-1})^T \end{align} donde $T$ denota la operación de transposición.

¿Cómo cambia esta fórmula al considerar el producto de Kronecker de $A$ con alguna otra (invertible) matriz $B$? Por ejemplo, ¿cómo se calcula lo siguiente:

\begin{align} \dfrac{\partial \det \left[A\otimes B\right]}{\partial A} \end{align}

Answer 1

Encuentro esta pregunta muy interesante. No pude encontrar ninguna referencia a este problema en ningún libro. Por lo tanto, aquí está mi derivación para matrices cuadradas y me gustaría escuchar a otras personas para saber si es correcta.

$A$ siendo una matriz ${n\times n}$ y $B$ siendo una matriz ${p\times p}$. Sabemos que $$\det[A\otimes B]=(\det{A})^p(\det{B})^n$$ (Nota cómo el exponente cambia entre $n$ y $p)

Luego, la derivada es $$\frac{\partial(\det{A})^p(\det{B})^n}{\partial A}=(\det{B})^np(\det A)^{p-1}\det A(A^{-1})^T=p(\det B)^n(\det A)^p(A^{-1})^T$$

Para que se vea "mejor":

$$\frac{\partial\det[A\otimes B]}{\partial A}=p\det[A\otimes B](A^{-1})^T$$