infinitas sumas de funciones trigonométricas

Question

Encontrar la suma de la serie: $$\sum_{n = 1}^\infty \left( \sin \left(\frac{1}{n}\right) - \sin\left(\frac{1}{n+1} \right) \right).$$

Por la convergencia de la prueba el límite de esta función es $0$ pero no estoy seguro de cómo probar si o no esta función converge o diverge.

Answer 1

Escribe la suma como $\sin(\frac{1}{1}) - \sin(\frac{1}{2}) + \sin(\frac{1}{2}) - \sin(\frac{1}{3}) + \sin(\frac{1}{3}) - \sin(\frac{1}{4}) + \cdots$. Todos los términos, pero la primera cancelar y nos quedamos con $\sin(1)$. Usted ya ha establecido que el límite de los términos es $0$, por lo que el límite de la suma es $\sin(1)$.