Una curiosa propiedad de las matrices ortogonales

Question

Sea $A$ ser un $n\times n$ matriz ortogonal, es decir $AA^T=A^TA=I$ . He observado experimentalmente que si tomamos cualquier conjunto creciente de índices $i_1<\cdots<i_p$ entonces la suma de los cuadrados de todos los menores posibles con filas correspondientes a $\{i_1,\ldots,i_p\}$ es igual a 1.

Esto es un poco difícil de formular, así que permítanme intentar decir lo que quiero decir de forma más explícita. Sea $$A=\begin{pmatrix}a_1^1&\ldots&a_1^n\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_n^1&\cdots&a_n^n\end{pmatrix}$$ and let $$A_{i_1\ldots i_p}^{j_1\ldots j_p}=\begin{pmatrix}a_{i_1}^{j_1}&\ldots&a_{i_1}^{j_p}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i_p}^{j_1}&\cdots&a_{i_p}^{j_p}\end{pmatrix}$$ para $i_1<\cdots<i_p$ , $j_1<\cdots<j_p$ y $1\leq p\leq n$ .

Conjetura: Si $A$ es ortogonal, entonces, para cualquier $i_1<\cdots<i_p$ w $$\sum_{j_1<\cdots<j_p}\left(\det A_{i_1\ldots i_p}^{j_1\ldots j_p}\right)^2=1,$$ donde la suma es sobre todos los conjuntos crecientes de $p$ índices.

¿Cómo probamos tal cosa? ¿Es eso cierto? (Es muy probable que la respuesta sea afirmativa, ya que lo he comprobado en muchos ejemplos aleatorios).

Nota: El caso $p=1$ es la afirmación de que las filas de $A$ tienen normas unitarias, y el caso $p=n$ es la afirmación de que $(\det A)^2=1$ . La conjetura generaliza estas dos afirmaciones.

En particular, la conjetura es claramente cierta para $n=2$ . He aquí un ejemplo algo menos trivial:

Ejemplo: Toma $$ A= \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}&0&1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{6}&\sqrt{2/3}&1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}&1/\sqrt{3}&-1/\sqrt{3} \end{pmatrix}\in O(3). $$ Entonces, con $p=2$ y $i_1=1$ , $i_2=2$ tenemos $$ \begin{vmatrix} 1/\sqrt{2}&0\\ -1/\sqrt{6}&\sqrt{2/3} \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{6}&1/\sqrt{6} \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 0&1/\sqrt{2}\\ \sqrt{2/3}&1/\sqrt{6} \end{vmatrix}^2 =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1. $$

Answer 1

Sí, su conjetura es cierta. Dado el producto interior sobre $\Bbb R^n$ existen productos internos inducidos en $\bigwedge^p\Bbb R^n$ . Dado que los vectores $v_1,\dots,v_p$ formado por su $p$ filas son vectores unitarios mutuamente ortogonales, con respecto a ese producto interior, $\|v_1\wedge\dots\wedge v_p\|^2=1$ también, y eso es lo que estás computando. Tal vez una buena manera de demostrar su conjetura es demostrar que la cantidad que está considerando es invariante bajo orthonormal cambio de base.

Answer 2

Tras el comentario de Darij. Que $B$ sea el $p\times n$ submatriz de $A$ formado por las líneas $i_1,\cdots,i_p$ de $A$ . Entonces $BB^T=I_p$ y $\det(BB^T)=1$ . Así $V=\sqrt{1}=1$ es el $p$ -volumen dimensional del paralelótopo $\Pi$ en $\mathbb{R}^n$ por el $p$ filas de $B$ . Según Cauchy Binet, $V^2$ es también la suma de los cuadrados de los volúmenes de las proyecciones ortogonales de $\Pi$ en el $\binom{n}{p}$ $p$ -planos de coordenadas.