Estoy estudiando la profundidad de $A$ -módulos, donde $A$ es un anillo noetheriano, en el caso de Matsumura Álgebra conmutativa texto y estoy experimentando algunos problemas para entender la demostración de un resultado básico.
Creo que todos ustedes conocen el siguiente hecho:
$$\mathrm{depth}_I (M):= \mathrm{min} \{i\in \mathbb{N}\mid \mathrm{Ext}^i_A(A/I,M)\neq 0\}$$
y supongo que nadie se sorprenderá si, en el caso $A$ es local, escribiré simplemente $\mathrm{depth}(M)$ (o también $\mathrm{codim}(M)$ siguiendo a Buchsbaum).
Llegando a mi problema, en Matsumura §15.D hay un Lemma llamado Lemma de Ischebeck que establece lo siguiente:
Que sea $A$ un anillo local noetheriano y sea $M,N\neq 0$ dos de ellos generados finitamente $A$ -módulos. Entonces $\mathrm{Ext}^i_A(N,M)=0$ por cada $i<\mathrm{depth}(M)-\mathrm{dim}(N)$ .
No puedo entender la prueba expuesta en Matsumura, en particular no entiendo por qué se puede reducir la prueba al caso $N=A/\mathfrak{p}$ para algunos $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}(A)$ . Se afirma que la existencia de una filtración $$0=N_0\subset N_1\subset \cdots \subset N_{l-1} \subset N_l =N$$ con $N_j/N_{j-1}\simeq A/\mathfrak{p}_j$ para algunos $\mathfrak {p}_j\in\mathrm{Spec}(A)$ podría ayudar, pero no veo cómo, a menos que pueda reemplazar $N$ con su grado asociado $$\mathrm{gr}(N)=\bigoplus_{k=1}^{l} N_k/N_{k-1}$$ pero esto me parece realmente improbable.
¿Alguna sugerencia?
