La desigualdad con exponentes

Question

Deje $x,y$ ser números positivos. Demostrar que $x^x+y^y \ge x^y +y^x$.

Esta pregunta apareció en el Verano de 1991 ruso Olimpiada de equipo de prueba. Al parecer, he tratado de llegar con diferente enfoque, tales como la de Jensen, Karamata la desigualdad y nada funciona hasta ahora. Sólo necesito un debate aquí. Las sugerencias no son necesarias.

Answer 1

sin pérdida de generalidad sólo nos probar por $0\le y\le x\le 1$,vamos $$f(a)=a^{bx}-a^{by},x\ge a\ge y,1\ge bx-by\ge 0$$ entonces $$(a^{bx-by})'_{a}=\dfrac{bx-by}{a}\cdot a^{bx-by}>0,\Longrightarrow a^{bx-by}\ge y^{bx-by}\cdots (1)$$ desde el uso de $AM-GM$ la desigualdad,tenemos $$y^{1+y-x}1^{x+xy-y^2-y}\le\left(\dfrac{x}{1+xy-y^2}\right)^{1+xy-y^2}\le x\cdots (2)$$ y $$f'(a)=\dfrac{bx}{a}\cdot a^{bx}-\dfrac{by}{a}\cdot a^{by}=\dfrac{ba^{by}}{a}(xa^{b(x-y)}-y)=$$ así que el uso de $(1),(2)$ hemos $$f'(a)\ge ba^{- 1}(xy^{b(x-y)}-y)=ba^{- 1}y^{b(x-y)}(x-y^{1-b(x-y)})\ge 0 $$ así $$f(x)\ge f(y)\Longrightarrow x^{bx}+y^{by}\ge x^{by}+y^{bx}$$ deje $b=1$

tenemos $$x^x+y^y\ge x^y+y^x$$

Answer 2

Suponga $x\ge y$ por la simetría. Queremos $$x^x-x^y\ge y^x-y^y.$$ es decir, $$x^y(x^{x-y}-1)\ge y^y(y^{x-y}-1),$$ que luego es fácil mostrar el listado de todos los casos posibles de acuerdo a cómo se $x,y$ comparar a 1.

Answer 3

El uso de la inducción, tomando el caso base x=0