Hacia la solución del Problema : Problema de extensión de campo más allá $\mathbb C$ (Pregunta 1)

Question

Estoy publicando este problema con el fin de romper el problema en mi post anterior Problema de extensión de campo más allá de $\mathbb C$ .

Notación: $M(\mathbb C):=$ Campo de todas las funciones meromórficas sobre $\mathbb C$ , $K:=$ un subcampo propio entre $\mathbb C$ y $M(\mathbb C)$

Pregunta 1: Dejemos que $\sigma\in Aut(K)$ y $c$ es una función constante. ¿Es cierto que $\sigma(c)$ es de nuevo una función constante?

Publicaré las siguientes preguntas después de obtener una buena respuesta (ya sea por mí o por otra persona). ¡Probemos hasta dónde podemos llegar!

Answer 1

Sí, es cierto que para $c\in\mathbb{C}$ entonces $\sigma(c)$ está de nuevo en $\mathbb{C}$ . Esto se debe a que el subcampo $\mathbb{C}$ de $K$ se distingue por la siguiente propiedad algebraica.

Un elemento $c\in K$ está en $\mathbb{C}$ si y sólo si $X^n-c+q=0$ tiene una raíz en $K$ para cada $n\in\mathbb{N}$ y $q\in\mathbb{Q}$ .

Siendo un automorfismo de $K$ , $\sigma$ preserva la propiedad indicada, por lo que mapea elementos de $\mathbb{C}$ (o, "funciones constantes") en $\mathbb{C}$ .

El hecho de que cada $c\in\mathbb{C}$ satisface la propiedad indicada anteriormente se deduce del hecho de que $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado. Por otro lado, si $c\in K\setminus\mathbb{C}$ es una función meromorfa no constante, entonces, por la pequeño teorema de Picard se asigna a $\mathbb{C}$ menos dos puntos, por lo que su imagen contendrá (infinitos) racionales $q$ (o se puede utilizar el hecho más simple de que la imagen de una función meromorfa no constante es un subconjunto abierto denso conectado de $\mathbb{C}$ ). Así que, $c-q$ tiene un cero, que debe ser de orden finito $m\ge1$ . Entonces, $c-q$ no tiene un $n$ (en el campo de las funciones meromórficas) para cualquier $n$ no dividir $m$ .