¿Generalizaciones de los conceptos de teoría de números "par" e "impar"?

Question

Uno de los primeros conceptos de la teoría de números que se enseñan a los estudiantes, incluso antes que la primacía, la divisibilidad, etc. -- es la idea de que un número natural puede ser "par" (es decir, divisible por 2) o "impar" (todos los demás números). A todos los efectos, en aquella época, los números pares e Impares estaban distribuidos uniformemente y tenían la misma densidad en los números naturales.

Siempre parecía haber algo inherentemente "especial" en el hecho de que un número fuera par o impar, aparte de la trivialidad de que los miembros de una clase pudieran dividirse por igual en dos grupos y los de la otra no. Uno memorizaría tablas de suma y multiplicación de números pares e impares (un número impar seguirá siendo impar cuando se sume a CUALQUIER número par). No se podría iterar por todos los números pares sólo mediante la multiplicación, mientras que sí se podría para los impares.

He oído decir que el tablero de ajedrez es par e impar. Por ejemplo, las casillas oscuras y las casillas claras pueden representar pares o Impares. Un movimiento diagonal puede ser un movimiento "par" y un movimiento de lado a lado es un movimiento "impar", y los movimientos se representan como adiciones a una casilla.

De este modo, el movimiento de un caballo es un movimiento "impar" (impar+impar+par), y cuando se añade a una casilla impar dará lugar a una casilla par; cuando se añade a una casilla par dará lugar a una casilla impar (impar + impar = par, impar + par = impar). El movimiento de un alfil puede considerarse siempre par, por lo que una vez que un alfil está en una casilla impar, sólo puede moverse a otras casillas Impares. Lo mismo ocurre con los alfiles en casillas pares.

¿Hay más generalizaciones de este concepto a las matemáticas? ¿Tiene sentido hablar de matrices pares o Impares, o de vectores pares o Impares o de espacios vectoriales?

He oído el concepto aplicado a funciones (incluso o funciones impar), pero no sé si están relacionadas con esto por algo más que su nombre.

Answer 1

Sí. La generalización la proporciona aritmética modular . Todas las propiedades que observas provienen del hecho de que tomar el resto módulo $n$ respeta la suma y la multiplicación, y esto se generaliza a cualquier $n$ . De forma más general, en álgebra abstracta estudiamos anillos y sus ideales por las mismas razones.

Las nociones de paridad e imparidad de las funciones están estrechamente relacionadas, pero es algo difícil explicar exactamente por qué. El punto clave es que hay una cierta grupo el grupo cíclico $C_2$ de orden $2$ que está detrás de ambos conceptos. Por ahora, nótese que el producto de dos funciones pares es par, el producto de una función par e impar es impar, y el producto de dos funciones impar es par, por lo que las funciones pares e Impares bajo multiplicación se comportan exactamente igual que los números pares e Impares bajo suma.

También hay grandes generalizaciones dependiendo de lo que se busque exactamente, así que es difícil dar aquí una lista completa. Has mencionado los tableros de ajedrez; aquí hay una construcción más general, pero es algo difícil de explicar y no hay buenas referencias elementales que yo conozca. Una vez que aprendas algo de aritmética modular, aquí tienes la explicación aritmética modular de la idea del tablero de ajedrez: puedes asignar coordenadas enteras $(x, y)$ a cada cuadrado (por ejemplo, la coordenada de la esquina inferior izquierda), y luego los divides en cuadrados negros o blancos dependiendo de si $x + y$ es par o impar; es decir, dependiendo del valor de $x + y \bmod 2$ . Entonces dados dos puntos $(a, b)$ y $(c, d)$ puede considerar la diferencia $c + d - a - b \bmod 2$ y las restricciones sobre esta diferencia se traducen en restricciones sobre el movimiento de determinadas piezas. Esta idea se puede utilizar, por ejemplo, para demostrar que ciertos tableros de ajedrez (con piezas recortadas) no se pueden embaldosar con $1 \times 2$ o $2 \times 1$ porque estas fichas deben cubrir tanto una casilla blanca como una negra. Por supuesto, hay generalizaciones con $2$ sustituido por un módulo mayor y baldosas más grandes.

En cuanto a matrices y vectores, digamos que hay muchas cosas que este podría y ninguno de ellos es una generalización directa del concepto anterior.

Answer 2

Un ejemplo que me viene inmediatamente a la mente es el de las permutaciones.

Existe el concepto de paridad de una permutación, que corresponde a la paridad del número de permutas necesarias para que vuelva a la posición original. Este mismo concepto se habla a veces en términos de "signo" de una permutación, que es 1 o -1, según que la permutación sea par o impar.

Las permutaciones están relacionadas con las matrices, ya que aparecen en la definición del determinante, y de hecho, el signo de la permutación se utiliza a diferencia de la definición de la permanente.

Se demuestra que algunas configuraciones del famoso rompecabezas de los quince son irresolubles considerando la paridad de las permutaciones implicadas.

Mira esta página: Paridad de permutación que también habla de las generalizaciones de este concepto aquí: Generalizaciones a los grupos de Coxeter .