Una categoría con diferentes productos, pero no todos los límites, o límites finitos no viajen con filtrado colimits?

Question

Estoy interesado en encontrar un ejemplo de un local pequeño de la categoría $\mathcal{C}$ tener

• pequeño filtrada colimits y
• arbitraria de productos pequeños

pero falta, ya sea

1. todos los límites de los pequeños,

o sea

2. la propiedad de los límites finitos de desplazamientos de los filtrados colimits.

Si no estoy equivocado, cualquier decente olvidadizo functor $ \mathcal{C} \longrightarrow \mathbf{Sets}$ de mi categoría $\mathcal{C}$ a la categoría de conjuntos, harían $\mathcal{C}$ cumplir con las propiedades (1) y (2). Por lo tanto, tengo que descartar todas las habituales categorías concretas, no yo?

Estaría muy agradecido de cualquier contraejemplos (incluso la más evidente y vergonzoso :-) ) alguien me puede decir.

EDIT. Queridos Zhen Lin y Hanno: gracias a ambos por sus ejemplos. Son muy útiles para mí.

Answer 1

1. La categoría de complejos de Kan es una subcategoría de la categoría de simplicial establece que es cerrado bajo filtrada colimits y pequeños productos, pero no tienen sintonizadores.

2. Considerar el ordinal $\omega + 1 = \{ 0, 1, 2, \ldots, \omega \}$. Deje $\mathcal{C}$ ser el poset de $\sup$-cerrado los subconjuntos de a $\omega + 1$. No es difícil ver que $\mathcal{C}$ es un completo entramado, por lo que también es cocomplete. Deje $A = \{ 0, \omega \} \subset \omega + 1$ y deje $B_n = \{ 0, \ldots, n \} \subset \omega + 1$. Claramente, la colimit de la cadena $$B_0 \to B_1 \to B_2 \to B_3 \to \cdots$$ es sólo $\omega + 1$ sí. Por otro lado, la colimit de $$A \cap B_0 \to A \cap B_1 \to A \cap B_2 \to A \cap B_3 \to \cdots$$ es $\{ 0 \}$. Por lo tanto, los límites finitos no conmuta con filtrado colimits en $\mathcal{C}$.

Answer 2

Tome un campo $k$, puesto $R := k[x]/(x^2)$ y considerar toda la subcategoría ${\mathscr C}$ $R\text{-Mod}$ consiste proyectiva (=plana=inyectiva, ver más abajo) $R$-módulos.

• Dirigido límites de la plana módulos de siempre (es decir, para cualquier anillo) plana, por lo ${\mathscr C}$ hereda les de $R\text{-Mod}$.

• Productos de injectives son siempre (he.e, en cualquier categoría) inyectiva, por lo ${\mathscr C}$ hereda les de $R\text{-Mod}$.

• $\alpha: R\xrightarrow{\cdot x} R$ no tiene un núcleo en ${\mathscr C}$:

  Primera nota de que desde $R\in{\mathscr C}$, un monomorphism en ${\mathscr C}$ es un monomorphism en $R\text{-Mod}$. En particular, un núcleo de $\alpha$ ${\mathscr C}$ sería un subobjeto de $R$$R\text{-Mod}$, de los cuales sólo hay $\{0\}$, $k\cdot x$ y $R$. $\{0\}$ se excluye desde $\alpha^2=0$ pero $\alpha\neq 0$, lo $\alpha$ no es un monomorphism en ${\mathscr C}$. Del mismo modo, $R$ sí excluidos desde $\alpha\neq 0$. Finalmente, $k\cdot x$ está excluido, ya que no pertenecen a ${\mathscr C}$.

Prueba de que la plana, proyectiva y inyectiva módulos coinciden: módulos Proyectivos son planos, planos módulo está dirigido límite de finitely generado módulos proyectivos, y cualquier dirigida límite de inyectiva módulos es inyectiva (desde $R$ es Noetherian). Por lo tanto, para demostrar que $\text{Proj}\subset\text{Flat}\subset \text{Inj}$ basta con señalar que $R$ sí es inyectiva. Para $\text{Inj}\subset\text{Proj}$, tome $v\in I\in\text{Inj}$ y supongamos $x\cdot v=0$. A continuación, se extiende $k\cdot x\hookrightarrow I, x\mapsto v$, a lo largo de la incrustación $k\cdot x\hookrightarrow R$ muestra que existe en algunos $v^{\prime}\in I$$x\cdot v^{\prime}=v$. Por lo tanto $X := \text{ker}(x\cdot -)=\text{im}(x\cdot -)\subset I$, por lo que para $X^{\prime}$ $k$- complemento de $X$$I$, la canónica mapa de $R\otimes_k X^{\prime}\to I$ es un isomorfismo, por lo $I$ es proyectiva.

Tenga en cuenta que $\text{Proj}=\text{Inj}=\text{Flat}$ todos consisten en la "acíclico" $R$-módulos, aquellos donde la $\text{ker}(x\cdot -)=\text{im}(x\cdot -)$.