Demostrar que las siguientes matrices no pueden representar la transformación lineal $T$ en CUALQUIER base

Question

$T: \mathbb {R}^3 \rightarrow \mathbb {R}^3$ definido como $T(x,y,z) = (2x,z,y)$ es una transformación lineal.

Necesito probar que las siguientes matrices no pueden representar $T$ en CUALQUIER base:

$$ \begin {bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end {bmatrix}$$

$$ \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end {bmatrix}$$

Mi intento para la primera matriz fue asumir (negativamente) la existencia de una base en la que la matriz dada es la representación, y dejarla multiplicada por $(x,y,z)^{T}$ para conseguir $(2x+z,y,2x+z)^{T}$ .

¿Puedo concluir que dado que no está en la forma $(2x,z,y)^{T}$ no existe tal base?

Quiero saber si esto es correcto y, además (o alternativamente), aprender otras formas de resolver este ejercicio.

Gracias.

Answer 1

En la base canónica: $[T]_e= \left ( \begin {matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end {matrix} \right )$

Cualquier otra representación de $T$ sería similar a $[T]_e$ .

Matrices similares tienen el mismo rastro, y esto descarta la primera opción.

Matrices similares tienen el mismo determinante, y $|[T]_e|=-2$ . Esto descarta la segunda opción (Tiene determinante $2$ ).

Sobre el razonamiento que intentaste y preguntaste: No es correcto. La forma de la que hablabas es sólo la forma de la coordenadas (Los números por los que se multiplica algún conjunto de vectores base) y ciertamente no retendría su forma, por lo general, en bases diferentes.

Answer 2

El determinante y el rastro de una transformación lineal no dependen de la base. La primera matriz tiene un determinante equivocado, y la otra tiene un rastro equivocado.