Es la integral de cierre de un integralmente cerrado Noetherian de dominio en un determinado campo de la extensión Noetherian?

Question

Tal como dice el título. Deje $R$ ser un Noetherian integral de dominio, vamos a $K$ ser su campo de fracciones, vamos a $L$ ser una extensión finita de $K$, y deje $S$ ser la integral de cierre de $R$$L$. Debe $S$ ser Noetherian, o necesito algunas suposiciones adicionales en $R$?

EDIT: me refería a asumir que $R$ sí es integralmente cerrado en $K$ a empezar. ¿Eso cambia las cosas?

Answer 1

Esto es cierto si $\dim R = 1$, y es conocido como el Krull-Akizuki teorema. De hecho, se ha establecido con el más fuerte conclusión de que cualquier sub-anillo $S \subseteq L$ contiene $R$ es Noetherian. Si $\dim R = 2$, sigue siendo cierto que la $\overline{R}^L$ es Noetherian, aunque puede haber subrings de $L$ que no lo son. En la dimensión $3$ a pesar de que, Nagata ha dado ejemplos de $3$-dimensiones Noetherian dominios cuyo integral de los cierres no son Noetherian.

Si $R$ es un anillo de Nagata (por ejemplo, un excelente anillo, y por lo tanto prácticamente cualquier geométricas anillo), entonces la conclusión deseada se mantiene.