Entiendo las matemáticas de las relaciones de conmutación y anti-conmutación, pero ¿qué significa físicamente que un observable (operador autoadjunto) conmute con otro observable (operador autoadjunto) en la mecánica cuántica?
P. ej. ¿un operador $A$ con el hamiltoniano $H$?
Primero recordemos la afirmación matemática de que dos operadores $\hat A$ y $\hat B$ conmutan entre sí. Significa que $$\hat A \hat B - \hat B \hat A = 0,$$ lo cual puedes reorganizar como $$\hat A \hat B = \hat B \hat A.$$
Si recuerdas que los operadores actúan sobre estados mecánico-cuánticos y te dan un nuevo estado a cambio, entonces esto significa que con $\hat A$ y $\hat B$ conmutando, el estado que obtienes al dejar primero actuar a $\hat A$ y luego a $\hat B$ sobre cierto estado inicial es el mismo que si dejas actuar primero a $\hat B$ y luego a $\hat A sobre ese estado: $$\hat A \hat B | \psi \rangle = \hat B \hat A | \psi \rangle.$$
Esta no es una afirmación trivial. Muchas operaciones, como las rotaciones alrededor de diferentes ejes, no conmutan y por lo tanto el resultado final depende de cómo has ordenado las operaciones.
Entonces, ¿cuáles son las implicaciones importantes? Recuerda que cuando realizas una medición mecánico-cuántica, siempre medirás un autovalor propio de tu operador, y después de la medición tu estado queda en el autoestado correspondiente. Los autoestados del operador son precisamente aquellos estados para los cuales no hay incertidumbre en la medición: Siempre medirás el autovalor, con probabilidad $1$. Un ejemplo son los autoestados de energía. Si te encuentras en un estado $|n\rangle$ con una autoenergía $E_n$, sabes que $H|n\rangle = E_n |n \rangle$ y siempre medirás esta energía $E_n$.
Ahora, ¿qué sucede si queremos medir dos observables diferentes, $\hat A$ y $\hat B$? Si primero medimos $\hat A$, sabemos que el sistema queda en un autoestado de $\hat A$. Esto podría alterar el resultado de la medición de $\hat B, por lo tanto, en general, el orden de tus mediciones es importante. ¡No es así con variables conmutativas! Se muestra en cualquier libro de texto que si $\hat A$ y $\hat B$ conmutan, entonces puedes encontrar un conjunto de estados de base $| a_n b_n\rangle$ que son autoestados de ambos $\hat A$ y $\hat B$. Si ese es el caso, entonces cualquier estado se puede escribir como una combinación lineal de la forma $$| \Psi \rangle = \sum_n \alpha_n | a_n b_n \rangle$$ donde $|a_n b_n\rangle$ tiene autovalor de $\hat A$ $a_n$ y autovalor de $\hat B$ $b_n$. Ahora, si mides $\hat A$, obtendrás el resultado $a_n$ con probabilidad $|\alpha_n|^2$ (asumiendo que no hay degeneración; si los autovalores son degenerados, el argumento aún sigue siendo cierto pero se vuelve un poco engorroso de escribir). ¿Qué sucede si medimos primero $\hat B$? Entonces obtendremos el resultado $b_n$ con probabilidad $|\alpha_n|^2$ y el sistema quedará en el autoestado correspondiente $|a_n b_n \rangle$. Si ahora medimos $\hat A$, siempre obtendremos el resultado $a_n$. La probabilidad total de obtener el resultado $a_n$, por lo tanto, es nuevamente $|\alpha_n|^2$. Así que no importa que midamos $\hat B$ primero, no cambió el resultado de la medición para $\hat A.
EDICIÓN Ahora permíteme expandir un poco más. Hasta ahora, hemos hablado sobre algunos operadores $\hat A$ y $\hat B$. Ahora preguntamos: ¿Qué significa cuando algún observable $\hat A$ conmuta con el Hamiltoniano $H$? Primero, obtenemos todos los resultados anteriores: Existe una base de autoestados simultánea de los autoestados de energía y los autoestados de $\hat A$. Esto puede producir una simplificación tremenda de la tarea de diagonalizar $H$. Por ejemplo, el Hamiltoniano del átomo de hidrógeno conmuta con $\hat L$, el operador de momento angular, y con $\hat L_z$, su componente $z$. Esto te dice que puedes clasificar los autoestados por un número cuántico angular y magnético $l$ y $m$, y puedes diagonalizar $H$ para cada conjunto de $l$ y $m$ de forma independiente. Hay más ejemplos de esto.
Otra consecuencia es la de la dependencia temporal. Si tu observable $\hat A$ no tiene una dependencia temporal explícita introducida en su definición, entonces si $\hat A$ conmuta con $\hat H$, inmediatamente sabes que $\hat A$ es una constante de movimiento. Esto se debe al Teorema de Ehrenfest $$\frac{d}{dt} \langle \hat A \rangle = \frac{-i}{\hbar} \langle [\hat A, \hat H] \rangle + \underbrace{\left\langle \frac{\partial \hat A}{\partial t} \right\rangle}_{=\;0\,\text{por asunción}}$$
"El orden de tus medidas es generalmente importante". No estoy seguro de cómo eso puede ser cierto. En relatividad, el orden de las mediciones puede depender generalmente del marco de referencia.
Cuando dos operadores conmutan, se dice que sus observables son compatibles. Los observables compatibles no cumplen relaciones de incertidumbre, al menos por lo que tengo entendido. Esto es equivalente a decir que son (de alguna manera) independientes (quizás están relacionados a través de otras desigualdades o condiciones de contorno de algún tipo).
La respuesta a esta pregunta debe comenzar desde por qué queremos que los observables físicos estén representados por operadores lineales.
La física teórica trata sobre la construcción de un modelo matemático que esperamos describa los fenómenos para los cuales se está modelando y, por lo tanto, ayude a predecir cosas. En la física clásica, este modelo matemático se basa simplemente en los números reales (al menos localmente) debido al buen comportamiento de las cosas. En la mecánica cuántica no es el caso. Los experimentos comenzaron a dar valores discretos así como valores continuos (como la energía de los electrones, etc.). Por lo tanto, hay una necesidad de algún tipo de objetos matemáticos que den igual importancia a los casos continuos y discretos.
Sabemos que los operadores lineales tienen la propiedad de poseer tanto espectros discretos como continuos que pueden actuar como la clase de objetos matemáticos requeridos. Por lo tanto, comenzamos a identificar los observables físicos con los operadores lineales apropiados.
Postulado 1. Para cada variable dinámica existe un operador lineal tal que los valores posibles son los autovalores del operador.
Necesitamos algún lugar donde ocurra toda la física y donde estos operadores actúen para darnos los resultados requeridos. Por lo tanto, construimos un espacio de Hilbert que consiste en estados del sistema que estamos observando.
En la mecánica cuántica, el proceso de medición juega un papel importante. Alterará el estado del sistema que se supone que debe medir. Si vamos a realizar dos experimentos uno después del otro, existe la posibilidad de que parte de la información cambie.
El conmutador de dos observables $A$ y $B$ con los operadores $\hat{A}$ y $\hat{B}$ se define como, $$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$$
Un conmutador es una construcción matemática que nos dice si dos operadores conmutan o no. Supongamos que $A$ corresponde a un observable dinámico $A$ y $B$ corresponde al observable dinámico $B$. Entonces el producto $AB$ corresponde a medir el observable $A$ después de medir $B$. Si el proceso de medición va a alterar (perturbar) el resultado del próximo experimento de tal manera que, medir $A$ después de medir $B$ da valores diferentes que medir $B$ después de medir $A, entonces decimos que no conmutan. Por lo tanto, significa que el conmutador no es igual a cero. $$\hat{A}\hat{B}|\Psi\rangle\neq\hat{B}\hat{A}|\Psi\rangle$$ Se escribe en términos de un conmutador como, $$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\neq 0$$
De lo contrario, es cero. Lo que significa que los dos observables pueden medirse simultáneamente. Entonces, un conmutador nos dice si podemos medir dos observables físicos al mismo tiempo (que se denominan observables compatibles) o no
Si conocemos el valor del conmutador, nos dice cómo las mediciones van a alterar las cosas. Proporciona más información como la incertidumbre.
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Cuando dices que entiendes las matemáticas, ¿entiendes también la relación con la teoría de la representación y las simetrías?
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Significa que el conmutador es cero, es decir, AH = HA
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¿Estás preguntando sobre las consecuencias físicas e implicaciones (en lugar de la definición matemática, que ya conoces) cuando dos operadores son conmutativos?
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En realidad, si dos operadores conmutan, hay una clara interpretación física: ambos son elementos de un conjunto completo de observables conmutativos, es decir, se puede realizar una medición en el sistema de ambos observables en cualquier orden y también simultáneamente, por ejemplo, $L$, el momento angular total y $L_z$, el componente $z$. Si dos operadores no conmutan, cualquier medición realizada de uno de ellos con cierta precisión resultará en una incertidumbre del valor esperado del segundo operador, por ejemplo, posición y momento.
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@Qmechanic sí.