Mapas de Granada

Question

Es posible que ALGUNOS positiva $c$, $c<1$ para encontrar un par de COMPACTOS hiperbólicos manfiolds $M^3$ $N^3$ positiva con el grado de mapa $$f: M^3 \to N^3,$$ such that $f$ is contacting with constant $c$? Se puede ejemplos como este?

Uno puede hacer la misma pregunta de superficies de Riemann, y a mí me parece que esto debería ser posible. Por ejemplo, podemos tomar una cubierta doble de superficie de Riemann, con muchos puntos o ramificación. Aunque no sé, una prueba de que incluso en este caso. Por supuesto, para que no se ramifica a cubrir de la mejor forma posible constante$c$$1$.

AÑADIDO. Tras la respuesta de Sam Necesidad, permítanme darles una aproximados de la "prueba" de que el hecho de que esto funciona en dimesnion 2. Permítanos triangular una superficie hiperbólica $N^2$ en los triángulos de tamaño muy pequeño, que tiene ángulos agudos (esto siempre es posible). Queremos mostrar que una doble cubierta de $N^2$ con ramificaciones en los vértices de la triangulación para hacer el trabajo. Para ello necesitamos un lema (sin prueba).

Lema. Supongamos que tenemos dos hiperbólico trianlges, uno muy pequeño y agudo con ángulos $a$, $b$, $c$, y el sobre con los ángulos a/2, b/2, c/2. Luego hay un contacto mapa del segundo triángulo a la primera. El lema es cierto, ya que el segundo trianlge será grande.

Ahora en la doble cubierta que puede tomar un trangulation que viene de $N^2$ y la cola de estos triángulos con la mitad de los ángulos. La mitad de los ángulos vienen de doble cubierta. A continuación, sólo tenemos que "ajustar" el mapa.

Por supuesto, esto no es una verdadera prueba, pero estoy 100% puede ser real.

Answer 1

En general, para cualquier no-grado cero mapa de una cerrada negativa de curvas de colector a otro, hay una canónica de mapa (debido a Besson-Courtois-Gallot) llama la "natural mapa". Sin embargo, es sólo pointwise volumen decreciente, no necesariamente contratante. Ellos llaman a esto el "real Schwarz-Lexema". Aplicando el lema de Schwarz para superficies de Riemann creo que da el contratante mapa en este caso para ramificada cubre. Creo que la inducida por el mapa en la universalización de la cobertura, que es la unidad de disco, o $\mathbb{H}^2$. El lema de Schwarz dice que cualquier mapa de conformación desde el disco el disco está contratante, a menos que sea una isometría.

Pensé en uno (no muy explícita) ejemplo en 3-D. Tomar dos simplices en el espacio hiperbólico. Hay un canónica afín mapa (es decir, en el modelo de Lorenz), teniendo un simplex para el otro. Esta será una de contratación de ruta para la métrica hiperbólica si uno simplex se encuentra dentro de la otra [Edit: en realidad no estoy seguro acerca de esto ahora, pero en el ejemplo de abajo existe un contratante mapa]. Hay un número finito de tetraedros en $\mathbb{H}^3$ que dan lugar a los dominios discretos para los grupos de reflexión (ver Ratcliffe). Dos de estos tienen un ángulo diedro $\pi/5$, con el borde opuesto del ángulo de $\pi/2$$\pi/4$, respectivamente, y todos los otros ángulos de la misma. Hay un parámetro 1-la familia de poliedros interpolar entre estos (básicamente, "empujar" los dos rostros más juntos a lo largo del ángulo diedro $\pi/5$ de ventaja) que disminuye las distancias. También, el orbifold grupo fundamental (es decir, grupo de reflexión) de la $\pi/4$ se asigna a la de la $\pi/2$. Así que hay una distancia disminución de mapa de uno orbifold a la otra. El uso de Selberg del lema, uno puede encontrar finito sábana colector cubre con la misma propiedad.

Answer 2

Esta pregunta me confunde, incluso en dimensión dos. La no-trivial ramificada revestimientos $f$ puedo pensar son extremadamente contratante cerca de los puntos de ramificación. Tanto es así que $f$ actualmente está en expansión en otros lugares de producir suficiente área.