Regularidad de escasa Fourier transforma

Question

Supongamos $F$ tiene transformada de Fourier discreta $(a_n)$ donde $a_n=0$ si $n=2^k$ algunos $k > 0$, en cuyo caso $a_n=1/k$ (o $a_n=1/k^2$ si desea: estoy feliz con cualquier cosa polinomio). ¿Qué tipo de regularidad condiciones no $F$? Es Titular de continuo, o no?

Para ser explícitos:

$$ F(x)=\sum_{k=1}^\infty k^{-2} \exp(ix2^k) $$

por ejemplo.

Más en general, estoy interesado en dos dimensiones (discreta) de las transformadas de Fourier: ¿hay una buena referencia para este tipo de cosas?

Answer 1

Si $0 < \alpha < 1/2$, a continuación, una función continua en el círculo es $\operatorname{Lip}_\alpha$ sólo si los coeficientes de Fourier de satisfacer $a_n = {\rm O}( n^{-\alpha})$, esto es, en Katznelson del libro (Capítulo I, Corolario 4.6), por ejemplo.

[EDITAR (2013-07-10): en el momento en que pensé que esto era "iff", pero un comentario de los puntos que me misremembered; en cualquier caso, para lacunary de la serie como el de la cuestión, mucho más, es conocido que en el caso general; ver, por ejemplo, Katznelson Capítulo V de las bases.]

Así que la función que se definió anteriormente no va a ser Hölder continua para cualquier exponente positivo, a pesar de que es claramente continua (absolutamente convergente serie de Fourier).

La parte superior de mi cabeza, no sé de muy buena fuente para los de mayores dimensiones cosas.

Answer 2

Uno de los primeros ejemplos (históricamente) de la nada fue dado funciones continuas diferenciables por $a_{2^n} = 2^n$ y $0$ lo contrario. Teniendo poderes de tensor de esta función se Obtén funciones muy irregulares de la clase que desee. Por aquí muy irregular me refiero a ninguna parte diferenciable (y así al menos no en $\operatorname{Lip}_1$, pero tal vez que usted puede conseguir mucho más). En cualquier caso estas series de Fourier se llama lagunar (à la Hadamard) y debe haber mucha literatura acerca de ellos.

Answer 3

Gian Maria Dall'Ara comentario es la solución. Esta función que usted describe es un (típico) ejemplo de una función continua que es diferenciable. En efecto, supongamos que tiene una función integrable $F$ tal que $\hat F(n) = a _ n $ siempre $n=\lambda _ k$ y cero de otra manera, donde se asume que la secuencia de $\lambda_k$ es lacunary en el sentido de Hadamard (he.e ${\lambda _ {k+1}} / {\lambda _ k}\geq c$). Si la función de $F$ es diferenciable en algún punto, a continuación, $a _ {\lambda _k}=o(\frac{1}{\lambda _ k})$ (en realidad, tengo la impresión de que la prueba de este hecho se utiliza el supuesto más débil que el $F$ es Lipschitz continua en algún punto). Más generalmente, si se reemplaza la diferenciabilidad de la función $F$ $\alpha$- Hölder continuidad (en un barrio de cero a decir) por $0<\alpha <1$, a continuación, llegar a la conclusión de que $a _ {\lambda _k}=O(\frac{1}{\lambda _ k ^\alpha})$. Por lo que su función no es $\alpha$- Hölder.

Observación 1: El contrario es también cierto que desde $a _ {\lambda _k}=o(\frac{1}{\lambda _ k})$ implica que el $F$ es diferenciable en cualquier punto del círculo donde las sumas parciales converge a la función. Tengo algunas dudas sobre la precisión de la hipótesis que aquí se necesitan. No estoy seguro de si usted necesita que su función sólo han espectro positivo, pero su función aquí de todos modos.

Observación 2: Usted puede mirar en Grafakos libro, por ejemplo, o, por supuesto, en Zygmund trigonométricas de la serie (que sería mi primera referencia de este tipo de problemas). Katznelson tiene también una gran cantidad de información. Pero sé que Grafakos libro contiene estos resultados seguro.

Comentario 3: Así que su función es diferenciable, y no es Hölder continua. Sin embargo tiene otras buenas propiedades. Por ejemplo, pertenece a cualquiera $L^p$ $1\leq p <\infty$ e las $L^p$ norma es comparable a la $L^2$ norma (aquí se nota que el lacunary lagunas de la fuerza de la Littlewood-Paley piezas de la función para que se comporten como independiente de las variables aleatorias). En la parte superior de que, utilizando el test de kolmogorov del resultado en lacunary serie de Fourier se obtiene un fácil una.e resultado de la convergencia de las sumas parciales de la función (algo que es cierto para $L^2$ funciones en general, pero varias escalas más profundo y más difícil de probar).

Observación 4: por último, su único positivo vibratoria y pertenece a $L^p$ sobre el círculo, por lo que pertenece al espacio de Hardy $H^p$ sobre el círculo. No sé si usted puede utilizar esto en tu problema, pero es un fuerte de la propiedad.