$\log_7 n$ Es un valor entero o irracional

Question

He estado tratando de demostrar una cierta demanda y han golpeado una pared. Aquí está el reclamo...

Reclamo: Si $n$ es un entero positivo, entonces $\log_{7}n$ es un número entero o es irracional

Prueba (hasta ahora): Vamos a $y=\log_{7}n$. Tenga en cuenta que para decir $n$ es un número entero positivo es equivalente a decir que n es un no-cero natural número. Seguiremos intentando para probar el contrapositivo.

Reclamación (versión alternativa): Si $y$ es un número racional y no es un entero, a continuación, cualquiera de $n$ es nulo o no es un número natural.

Dado lo anterior, podemos asumir que no hay existen enteros $a$ $b$ tal que $y$ es igual a el cociente de $a$$b$. También podemos asumir a partir de la premisa de que $b$ no igual a uno y que $a$ $b$ son relativamente prime. Nota así que $n$ puede considerarse igual a siete elevado a la potencia de $a$ más de $b$. Nota además de que, debido a esta $n$ no puede ser cero o negativo. Para probar la reclamación, uno debe demostrar que $n$ no es un número natural.

Donde estoy atascado: ¿Cómo puedo garantizar que desde aquí $n$ no es un número natural? Es allí cualquier forma concreta de garantizar que no se no enteros $a$ $b$ de manera tal que la exponente fraccionario por encima de nunca dar un entero a la hora de levantar siete a su poder?

He estado tratando de jugar con una prueba de que no hay tal cosa como racional de la raíz de un número primo, pero que no se sacudió algo flojo hasta el momento.

Answer 1

Supongo que $\log_7 n =\frac{p}{q}$ es racional, entonces $7^{p/q}=n$, elevando ambos lados a la potencia de $q^{\text{th}}$, vemos que el $7^p=n^q$. Ahora tenemos por único facturización que $n=7^k$ % entero $k$, ya que divide $7^p$. Pero entonces $7^p=7^{kq}$ o $p=kq$, pero entonces $\frac{p}{q}=k$ es un entero como se desee.

Answer 2

Generalmente se prueban afirmaciones negativas por contradicción.

La definición de un número irracional es un número que es no racional. Esto sugiere que usted debe tratar de contradicción.

Inicio prueba

Asuma por la contradicción que $\log_7 (n) =\frac{a}{b}$ $a,b \in \mathbb Z$ y $b \nmid a$.

Esto implica $$7^{\frac{a}{b}}=n$ o $$n^b=7^a$ $

¿Qué te esto dice acerca de la primera factorización de $n$? Desde aquí debe ser fácil.

Answer 3

El contrapositivo es un torpe enfoque para este problema, debido a que las alternativas son $\log_7 n$ es un número entero o irracional en la conclusión.

Así que el contrapositivo sería asumir $\log_7 n$ es un número racional que no es un entero, y, a continuación, intente probar $n$ no es un entero positivo.

Un enfoque usando el Racional de la Raíz Teorema parece más fácil de explicar.

Supongamos que $n$ es un entero positivo y que $x = k/m$ es racional, es decir, la relación de dos coprime enteros, decir $m \gt 0$, y, a continuación, mostrar que, de hecho, $x$ tendría que ser un número entero. Tenga en cuenta que:

$$ x = \log_7 n \implies 7^x = 7^{k/m} = n \implies n^m - 7^k = 0 $$

Ahora $n$ cumple un polinomio. Si $k \ge 0$, entonces este polinomio tiene coeficientes enteros, y puesto que el coeficiente inicial es uno, racional alguno raíz de $n$ tendría que ser un entero de la forma $n \mid 7^k$. Desde $n$ es conocido por ser un entero positivo, entonces $n = 7^d$ para algunos entero$d$$0$$k$, y por lo tanto $x = \log_7 n = d$ es un número entero.

Por otro lado, supongamos $k \lt 0$. Convertimos la de arriba para un entero polinomio por multiplicar por $7^{-k}$:

$$ 7^{-k} n^m - 1 = 0 $$

Ahora las Raíces Racionales Teorema dice $n$ debe tener la forma $\frac{\pm 1}{7^d}$ donde $d$ es un número entero entre el$0$$-k$. Pero hemos asumido $n$ es un número entero positivo (en esta prueba por contradicción), de modo que el signo de $n$ debe ser positivo y $d$ debe ser cero. Es decir,$n=1$$x = \log_7 n = 0$, que es un entero.

Por lo tanto, si $n$ es un entero positivo, entonces $x = \log_7 n$ es irracionales o es un entero. QED