Hace $R$ un dominio implica $\operatorname{gr}(R)$ ¿es un dominio?

Question

Suponga que tiene una filtración $R=R^0\supset R^1\supset R^2\supset\cdots$ en un anillo conmutativo $R$ . Esto da el anillo graduado asociado $$ \text{gr}(R)=\bigoplus_{n=0}^\infty R^n/R^{n+1}. $$ De mi lectura, sé que la multiplicación se define en elementos homogéneos de la siguiente manera. Si $a\in R^m$ y $b\in R^n$ entonces $a+R^{m+1}\in R^m/R^{m+1}$ y $b+R^{n+1}\in R^n/R^{n+1}$ entonces $$ (a+R^{m+1})(b+R^{n+1})=(ab+R^{m+n+1}). $$

Algo que me he estado preguntando, sin embargo, es si $R$ es un dominio integral, ¿es cierto que $\text{gr}(R)$ ¿es un dominio integral? He oído que lo contrario es cierto, pero tengo curiosidad por esta dirección.

Lo que encuentro confuso, es suponer $x,y\in\text{gr}(R)$ y $xy=0$ . Ahora $x=\sum(a+R^m)$ y $y=\sum (b+R^n)$ y así podemos multiplicar estos elementos utilizando la distributividad y la definición de multiplicación sobre componentes homogéneos. Pero al multiplicar una suma tan arbitraria, parece muy difícil concluir dónde $x=0$ ou $y=0$ o no para concluir si $\text{gr}(R)$ es un dominio. Gracias.

Answer 1

Un ejemplo algo más sencillo: encontrar una filtración en $k[x,y,z]/(xy-z^2)$ tal que el anillo graduado asociado es $k[x,y,z]/(xy)$ .

Answer 2

No. Deja que $R=\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^3-x^2)$ sea el anillo de coordenadas de un cúbico singular. Filtrar $R$ por grado total en $x$ y $y$ . Comprueba que $R$ es un dominio (es decir, la cúbica es irreducible) pero que $(x-y)(x+y)=x^3=0$ en el anillo graduado asociado.

Lo que sucede: analíticamente, la curva es reducible cerca de $0$ : hay ramas aproximadas por $y-x$ y $y+x$ . Por lo tanto, la terminación con respecto a la filtración anterior no es un dominio, y por lo tanto su gradación asociada, que es la misma que la gradación asociada del anillo original, no puede ser un dominio.

Answer 3

La respuesta es no. Aquí es un contra-ejemplo:

Deje $R = \mathbb C[x,y]/(y^2 - x^3 -x^2),$ con la filtración de ser la inducida por la filtración por el grado en $\mathbb C[x,y]$ (es decir, tomar el cociente filtración en $R$). Este es el mismo que el $\mathfrak m$-ádico de filtración en $R$ donde $\mathfrak m$ es el ideal generado por a$x$$y$.

El $R$ es un dominio, sino $gr(R)$ no es: $y^2 - x^2 = (y - x)(y+x) = x^3$, y por lo $y-x$ $y + x$ son no-cero elementos de $gr^1$ cuyo producto se desvanece (porque el elemento $x^3$ ha de fuga de la imagen en $gr^2$).

Aquí es donde este ejemplo de:

Si $R$ es cualquier anillo y $\mathfrak m$ un ideal maximal en $R$, entonces los asociados gradual anillo de $gr(R)$ con respecto al $\mathfrak m$-ádico de filtración en $R$ es el mismo que el asociado graduales $gr(\widehat{R})$ donde $\widehat{R}$ $\mathfrak m$- ádico de la finalización de $R$, de nuevo dotado de la $\mathfrak m$-ádico de filtración.

Ahora puede suceder que $R$ es un dominio, sino $\widehat{R}$ no es, por ejemplo, porque se $R$ es afín anillo de una irreductible variedad, que tiene más de una analítica de la rama de pasar por el punto correspondiente a $\mathfrak m$. El ejemplo que yo elegí fue tal vez la más simple de este tipo: $R$ es afín anillo de un nodal de la curva, y $\mathfrak m$ es el máximo ideal correspondiente al nodo, el cual tiene dos analítica ramas de pasar a través de él.

Agregado: Este es idéntica a la del ejemplo Steve dio, y a ambos se nos han llevado a ello por la misma razón.