Demuestre que la función analítica $f$ no puede ser conforme cuando $f'(z) = 0$

Question

Estoy leyendo la discusión de Rudin sobre los mapeos conformes en "Análisis Real y Complejo". Rudin afirma que "ninguna función analítica preserva los ángulos en ningún punto donde su derivada sea cero. Omitimos la prueba fácil de esto". Así que estoy tratando de completar la prueba.

Supongamos que $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ está abierta y conectada, y que se nos da $z_0 \in \mathbb{C}$ y $f: \Omega \to \mathbb{C}$ . Además, supongamos que hay algún disco perforado $D(z_0, r) \setminus \{z_0\} \subseteq \Omega$ en el que $f(z) \neq f(z_0)$ . Entonces Rudin define $f$ para preservar el ángulo en $z_0$ si

$$\lim_{r \to 0} e^{-i\theta}\frac{f(z_0 + re^{i\theta}) - f(z_0)}{|f(z_0 + re^{i\theta}) - f(z_0)|}$$

existe y es independiente de $\theta$ .

Por lo tanto, con la suposición adicional de que $f'(z_0) = 0$ Quiero suponer que el límite anterior existe (y es independiente de $\theta$ ), y luego llegar a alguna contradicción.

Se agradecen mucho los consejos o soluciones.

Answer 1

Intentar derivar una contradicción debería ser el último recurso. En su lugar, deberíamos utilizar lo que sabemos sobre las funciones analíticas.

Podemos suponer $z_0=0$ y $f(0)=f'(0)=0$ . Si $f$ no es $\equiv0$ (una suposición tácita aquí) entonces hay un $n\in{\mathbb N}_{\geq2}$ y una función analítica $g$ con $g(0)=ae^{i\alpha}$ , $\ a>0$ , de tal manera que $$f(z)=z^n g(z)$$ en un barrio de $0$ . De ello se desprende que $$e^{-i\theta}\ {f(r e^{i\theta})-f(0)\over|f(r e^{i\theta})-f(0)|}=e^{i(n-1)\theta}{g\bigl(re^{i\theta}\bigr)\over\bigl|g\bigl(re^{i\theta}\bigr)\bigr|}=e^{i(n-1)\theta}\bigl(e^{i\alpha}+o(1)\bigr)\qquad(r\to0)\ .$$ Desde $n\geq2$ el límite en cuestión depende definitivamente de $\theta$ .

Tuvimos que utilizar conocimientos adicionales sobre funciones analíticas. El real $C^1$ mapa $${\bf f}(x,y):=(x^2+y^2)(x,y)$$ tiene diferencial $d{\bf f}(0,0)=0$ y conserva los ángulos allí.

Answer 2

Establecer $g(z) = f(z_0 + z) - f(z_0)$ . Observe que $g$ es analítico en $D(0, r)$ no es igual a cero en $D(0, r) \setminus \{0\}$ con $g(0) = g'(0) = 0$ . Por lo tanto, $g$ tiene una expansión en serie de potencias en $D(0,r)$ de la forma $\sum_{n = 2}^\infty a_n z^n$ . Sea $M \ge 2$ sea el menor número entero positivo tal que $a_M \neq 0$ (debe existir tal $M$ porque $g$ no es constante en $D(0,r)$ ). Para cualquier $\theta$ tenemos:

$$\lim_{r \to 0}e^{-i\theta}\frac{f(z_0 + re^{i\theta}) - f(z_0)}{|f(z_0 + re^{i\theta}) - f(z_0)|} = \lim_{r \to 0}e^{-i\theta}\frac{g(re^{i\theta})}{|g(re^{i\theta})|}= \lim_{r \to 0}\frac{(re^{i\theta})^M}{e^{i\theta}|re^{i\theta}|^M}\frac{a_M + a_{M+1}re^{i\theta} + \cdots }{|a_M + a_{M+1}re^{i\theta} + \cdots|} = \frac{a_M}{|a_M|}e^{i(M-1)\theta}.$$

Así que el límite no es independiente de $\theta$ Y aquí hay una contradicción.

La clave del argumento es que $f'(z_0) = 0$ fuerzas $M \ge 2$ y, por tanto, el límite final depende de $\theta$ .