$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{(1+57x)^{67}-(1+67x)^{57}}{x^{2}} \right)$

Question

Calcular:

$$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{(1+57x)^{67}-(1+67x)^{57}}{x^{2}} \right)$$

Sin usar regla de L'Hospital

Answer 1

En general, $$\begin{align} &\lim_{x\to0}\left(\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}\right)\\ &=\small\lim_{x\to0}\left(\frac{\left(1+\frac{n}{1}(mx)+\frac{n(n-1)}{1\cdot2}(mx)^2+O(x^3)\right) -\left(1+\frac{m}{1}(nx)+\frac{m(m-1)}{1\cdot2}(nx)^2+O(x^3)\right)}{x^2}\right)\\ &=\frac{n(n-1)}{1\cdot2}m^2-\frac{m(m-1)}{1\cdot2}n^2\\[14pt] &=\frac{(n-m)nm}{2} \end {alinee el} $$ en particular, $$ \frac {(67-57) 67\cdot57} {2} = 19095 $$

Answer 2

Recordar la expansión de Taylor (que es también una expansión binomial, si se prefiere): $(1+u)^\alpha=1+\alpha u+\binom{\alpha}{2}u^2+O(u^3)$. Entonces f(x)=(1+57x)^{67}=1+3819x+7183539x^2+O(x^3) de $$ $$ y $ g(x)=(1+67x)^{57}=1+3819x+7164444x^2+O(x^3). $$ Así $ \frac{f(x)-g(x)}{x^2}=\frac{19095x^2+O(x^3)} {x ^ 2} = 19095 + O (x) \longrightarrow 19095. $$

Answer 3

Consejo: Utilizar la expansión binomial. Después de unos cuantos términos, cosas se anulan o vaya a $0$ en el límite y lo dejaste con el valor correspondiente.

Answer 4

la fórmula de binôme donne (1 + 57 * x) ^ 67 = 1 + 67 *(57*x) +2211 *(57*x) ^ 2 + 47905 *(57*x) ^ 3 +... +(57*x) ^ 67

(1 + 67 * x) ^ 57 = 1 + 57 *(67*x) +1596 *(67*x) ^ 2 + 29260 *(67*x) ^ 3 +... +(67*x) ^ 57

(1 + 57 * x) ^ 67-(1 + 57 * x) ^ 67 = (2211 * 57 ^ 2-1596 * 67 ^ 2) * x ^ 2 + p (x) * x ^ 3

en de polynome avec p Naciones Unidas x

o (2211 * 57 ^ 2-1596 * 67 ^ 2) = 19095

y lim (p(x)*x^3)/x ^ 2 = 0 (cuando x tiende a 0 de vers)

Donc la limite cherchée est 19095.

Answer 5

$$\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{(1+mx)^{n}-(1+nx)^{m}}{x^{2}} \right) = \frac{(n-m)mn}{2}$$

Prueba:

$=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\left({n\choose0}(mx)^0+{n\choose1}(mx)^1+{n\choose2}(mx)^2+{n\choose3}(mx)^3+\:\cdots\:+{n\choose n}(mx)^n\right) \;-\; \left({m\choose0}(nx)^0+{m\choose1}(nx)^1+{m\choose2}(nx)^2+{m\choose3}(nx)^3+\:\cdots\:+{m\choose m}(nx)^m\right)}{x^{2}} \right)$

$=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+nmx+{n\choose2}m^2x^2+{n\choose3}m^3x^3+\:\cdots\:+m^nx^n - 1-nmx+{m\choose2}n^2x^2-{m\choose3}n^3x^3-\:\cdots\:-\,n^mx^m}{x^{2}} \right)$

$=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{{n\choose2}m^2x^2+{n\choose3}m^3x^3+\:\cdots\:+m^nx^n - {m\choose2}n^2x^2-{m\choose3}n^3x^3-\:\cdots\:-n^mx^m}{x^{2}} \right)$

Cancelación de $x^2$ de numerador y denominador:

$=\lim_{x \rightarrow 0}\left({n\choose2}m^2+{n\choose3}m^3x+\:\cdots\:+m^nx^{n-2} - {m\choose2}n^2-{m\choose3}n^3x-\:\cdots\:-n^mx^{m-2} \right)$

$={n\choose2}m^2 - {m\choose2}n^2$

$=\frac{n(n-1)}{2}m^2 - \frac{m(m-1)}{2}n^2$

$=\frac{(n-m)mn}{2}$