Discretizing la ecuación de onda en coordenadas polares

Question

Quiero discretiza la ecuación de onda

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\psi\left(\vec{r},t\right)}{\partial t^2}=\triangle\psi\left(\vec{r},t\right)$$

en coordenadas polares. Encontrar las siguientes relaciones:

$$\vec{r}=r\mathbf{e}_r$$ $$\triangle=\frac{1}{r}\partial_r r \partial_r+\frac{1}{r^2}\partial_\varphi^2$$

Definir:

$$r=i\Delta r,\qquad\varphi=j\Delta\varphi,\qquad t=n\Delta t$$

Por lo tanto:

$$\psi\left(r,\varphi,t\right)=\psi\left(i\Delta r,j\Delta \varphi,n\Delta t\right)\equiv\psi_{i,j}^{\left(n\right)}$$

Usando diferencias central en % y la diferencia hacia adelante en $r$ $\varphi$y $t$, obtengo:

$$\psi_{i,j}^{\left(n+1\right)}=2\psi_{i,j}^{\left(n\right)}-\psi_{i,j}^{\left(n-1\right)}+\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta r^2}\left[\psi_{i+2,j}^{\left(n\right)}+\frac{1}{i}\psi_{i+2,j}^{\left(n\right)}-2\psi_{i+1,j}^{\left(n\right)}-\frac{1}{i}\psi_{i+1,j}^{\left(n\right)}+\psi_{i,j}^{\left(n\right)}\right]+\frac{c^2\Delta t^2}{i^2\Delta r^2\Delta \varphi^2}\left[\psi_{i,j+1}^{\left(n\right)}+\psi_{i,j-1}^{\left(n\right)}-2\psi_{i,j}^{\left(n\right)}\right]$$

¿Ahora esto es divergente en $r=0$, hice yo algo mal?

Y ¿cómo puedo configurar restricciones para el % de pasos $\Delta r$, $\Delta \varphi$ y $\Delta t$?

Answer 1

Si usted mira el Laplaciano: $$ \nabla^2=\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\parcial\phi^2} $$ se puede ver claramente que este se bifurca en$r=0$, por lo que la discretización de esto debe también divergen.

Hay tres soluciones para que se subsane la divergencia característica que se me ocurre:

1. Elegir un problema de tal manera que usted no necesita preocuparse acerca de $r=0$ (por ejemplo, $r_{min}=0.1$)
2. El uso de células centrada en los valores de $r$ (por ejemplo, $r_{min}=\frac12dr$)
3. El uso de dos mallas Cartesiano uno para $r<1$ y un polar para $r\geq1$, la fusión de ellos en $r\simeq1$ (se requiere al menos 1 celda de superposición).

Yo nunca he usado la opción #3, así que no puedo hablar nada al respecto. Opción #1 funciona en ciertos casos, pero no para todos. Opción #2 me han trabajado y han visto en otros de la hidrodinámica de los códigos que he utilizado, por lo que podría ser su mejor apuesta.

---

En cuanto a tu discretización se va, yo creo que puede ser más claro el uso de $r_i$ $\phi_j$ para las posiciones y las $dr$ $d\phi$ para el ancho de celda. El uso de esta, $$ \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)=\frac{1}{r_i}\left(r_{i+1/2}\frac{\psi^n_{i+1,j}-\psi^n_{i,j}}{dr^2}-r_{i-1/2}\frac{\psi^n_{i,j}-\psi^n_{i-1,j}}{dr^2}\right) \\ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\phi^2}=\frac{1}{r_i^2}\left(\frac{\psi^n_{i,j+1}-2\psi^n_{i,j}+\psi^n_{i,j-1}}{d\phi^2}\right) $$ donde $r_{i+1/2}=\frac12\left(r_{i+1}+r_i\right)$.

Su elección para$dr$$d\phi$. Se puede ser más fácil tener $dr=d\phi$, pero podría no valer la pena hacer cumplir ese comportamiento. El paso de tiempo, sin embargo, está limitada por el Courant-Friedrichs-Levy, de la condición. Para la ecuación de onda, su exigencia es tal que $$ c^2\frac{dt}{\min(dr^2,d\phi^2)}\leq\frac12 $$ Formalmente, la constante puede ser de 1 en lugar de $\frac12$, pero para multidimensional de los sistemas, es apropiado para el uso de $1/n_{dim}$. Para el tiempo de paso a paso, este va a ser el punto de retraso de su código. Podría ser digno de mirar en métodos implícitos en lugar del método explícito con la que está trabajando.