Tengo problemas para desarrollar esta integral en una serie:
$$\int_0^1 \frac{1+x}{1-x^3} \ln\left(\frac{1}{x}\right)dx$$
¿Alguien tiene una idea?
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Hacer una sustitución $x=e^{-y}$:
$$\begin{align}\int_0^1 dx\: \frac{1+x}{1-x^3} \ln\left(\frac{1}{x}\right) &= \int_0^{\infty} dy \: y \,e^{-y} \frac{1+e^{-y}}{1-e^{-3 y}}\\ &= \int_0^{\infty} dy \: y (e^{-y}+e^{-2 y}) \sum_{k=0}^{\infty} e^{-3 k y}\\&=\sum_{k=0}^{\infty} \int_0^{\infty} dy \: y (e^{-(3 k+1)y}+e^{-(3 k+2) y})\\&= \sum_{k=0}^{\infty} \left [ \frac{1}{(3 k+1)^2}+\frac{1}{(3 k+2)^2}\right]\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \left [ \frac{1}{( k+1)^2}-\frac{1}{(3 k+3)^2}\right]\\&=\frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{9}\frac{\pi^2}{6}\\&=\frac{4 \pi^2}{27}\end{align}$$
En general,
$$\int_0^1 dx \frac{1-x^{n-1}}{(1-x)(1-x^n)} \left[\ln{\left(\frac{1}{x}\right)}\right]^{m-1} = \left(1-\frac{1}{n^m}\right) \Gamma(m) \zeta(m)$$
Felix Marin
Puntos
32763
$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\int_{0}^{1}{1 + x \over 1 - x^{3}}\ln\pars{1 \over x}\,\dd x:\ {\large ?}}$
\begin{align}&\color{#c00000}{% \int_{0}^{1}{1 + x \over 1 - x^{3}}\ln\pars{1 \over x}\,\dd x} =-\int_{0}^{1}{1 + x^{1/3} \over 1 - x} \ln\pars{x^{1/3}}\,{1 \over 3}\,x^{-2/3}\,\dd x \\[3mm]&=-\,{1 \over 9}\int_{0}^{1} {x^{-2/3} + x^{-1/3} \over 1 - x}\ln\pars{x}\,\dd x ={1 \over 9}\lim_{\mu \to 0}\partiald{}{\mu}\int_{0}^{1} {x^{-2/3} + x^{-1/3} \over 1 - x}\pars{1 - x^{\mu}}\,\dd x \\[3mm]&={1 \over 9}\lim_{\mu \to 0}\partiald{}{\mu}\int_{0}^{1} {x^{-2/3} + x^{-1/3} - x^{\mu - 2/3} - x^{\mu - 1/3} \over 1 - x}\,\dd x \\[3mm]&={1 \over 9}\lim_{\mu \to 0}\partiald{}{\mu}\bracks{% \int_{0}^{1}\pars{{x^{-2/3} - 1 \over 1 - x} + {x^{-1/3} - 1 \over 1 - x} + {1 - x^{\mu - 2/3} \over 1 - x} + {1 - x^{\mu - 1/3} \over 1 - x}}\,\dd x} \\[3mm]&={1 \over 9}\lim_{\mu \to 0}\partiald{}{\mu}\bracks{% \int_{0}^{1}\pars{{1 - x^{\mu - 2/3} \over 1 - x} +{1 - x^{\mu - 1/3} \over 1 - x}}\,\dd x} \\[3mm]&={1 \over 9}\lim_{\mu \to 0}\partiald{}{\mu}\braces{% \bracks{\Psi\pars{\mu + {1 \over 3}} + \gamma} +\bracks{\Psi\pars{\mu + {2 \over 3}} + \gamma}} \qquad\qquad\qquad\qquad\pars{1} \end{align} donde $\ds{\Psi\pars{z}}$ es la Función Digamma ${\bf\mbox{6.3.1}}$ $\ds{\gamma}$ es la De Euler-Mascheroni Constante ${\bf\mbox{6.1.3}}$. En $\pars{1}$, se utilizó la identidad ${\bf\mbox{6.3.22}}$.
$$ \color{#c00000}{% \int_{0}^{1}{1 + x \a más de 1 - x^{3}}\ln\pars{1 \over x}\,\dd x} ={1 \over 9}\bracks{\Psi'\pars{1 \over 3} + \Psi'\pars{2 \más de 3}} $$
Con Euler Reflexión Fórmula $\ds{% \pars{~\Psi^{\rm\pars{n}}\pars{1 - z} + \pars{-1}^{n + 1}\Psi^{\rm\pars{n}}\pars{z} =\pars{-1}^{n}\pi\,\totald[n]{\cuna\pars{\pi z}}{z}~}}$ ${\bf\mbox{6.4.7}}$, we'll get $\ds{\pars{~\mbox{con}\ n = 1~}}$: $$ \color{#c00000}{% \int_{0}^{1}{1 + x \a más de 1 - x^{3}}\ln\pars{1 \over x}\,\dd x} ={1 \over 9}\,\pi^{2}\ \overbrace{\csc^{2}\pars{\pi \más de 3}}^{\ds{=\ {4 \más de 3}}} $$
$$ \color{#66f}{\large% \int_{0}^{1}{1 + x \a más de 1 - x^{3}}\ln\pars{1 \over x}\,\dd x={4\pi^{2} \over 27}} $$
