¿Prueba o contraejemplo: cada abierto conjunto conectado $D \subset \mathbb C$ es un dominio de holomorphy?

Question

Def: Un conjunto abierto $D \subset \mathbb C^n$ se llama un dominio de Holomorphy si existe una función holomorfa $f$ $D$ tal que $f$ no puede extenderse a un sistema más grande.

¿Es que cada conjunto abierto no vacío $D \subset \mathbb C$ es un dominio de holomorphy?

Personalmente, creo que este resultado es cierto pero soy incapaz de encontrar una prueba. ¿Alguna idea?

Answer 1

Sí, cualquier vacío de dominio abierto $ D\subset \mathbb C$ es un dominio de holomorphy.
La prueba está en dos pasos:

a) demuestra que un holomorphically convexa de dominio $D\subset \mathbb C^n$ es un dominio de holomorphy .
Esto no es difícil: véase, por ejemplo, Grauert-Fritzsche, Teorema 6.5, página 81

b) demuestra que para $n=1$ dominio $D\subset \mathbb C$ es holomorphically convexo.
Esto también es bastante fácil: dado un subconjunto compacto $K\subset\subset D$ y un límite de punto de $a\in \partial D$, la consideración de $\frac{1}{z-a}$ muestra que la holomorphically convex hull $\hat {K}=\hat {K}_D$ no puede acercarse a $\partial D$ y la consideración de la holomorphic función de $z$ muestra que $\hat {K}$ está acotada.
Desde $\hat {K}$ es cerrado en $D$ estas consideraciones demuestran que $\hat {K}$ es compacto.

NB Realmente a), es una equivalencia: un dominio $D\subset \mathbb C^n$ es holomorphically convexa de la fib es un dominio de holomorphy.
Este resultado fue demostrado por Cartan-Thullen en 1932. Aquí están los autores reunidos 55 años más tarde.

Answer 2

Un nonrigorous pero tal vez más accesible respuesta: la forma en que se construye una función de holomorphic en $D$, pero no cualquier mayor conjunto abierto es el de construir una función de meromorphic en $\Bbb C$ que los postes que rodean el límite de $D$, tan de cerca que no cortan cualquier continuación analítica. Tal función de meromorphic puede ser elegido para ser el recíproco de un holomorphic función con lo prescrito ceros; la existencia de tales funciones es, como Daniel Fischer propuso, garantizada por el Weierstrass producto teorema.