¿Cuándo es la solución trivial de esta ecuación matricial la única solución?

Question

Consideremos una matriz posiblemente rectangular (sólo el caso rectangular es de verdadero interés) $M$ y dos matrices diagonales $D_1, D_2$ .

Queremos $$D_1 M+M D_2=0$$ Claramente $D_1=0,D_2=0$ es suficiente.

Pero no siempre es necesario:

• si $M=0$ , cualquier $D_1, D_2$ lo hará.
• Si $M$ es diagonal, $D_1=-D_2$ es suficiente.

¿Qué condiciones deben $M$ obedecer a la solución trivial $D_1=0,D_2=0$ ¿es la única solución? ¿Basta con que $M$ no conmuta con matrices diagonales?

Answer 1

Siempre hay infinitas soluciones. Supongamos que $M$ es un $k\times n$ matriz. Elija $a\in\mathbb{R}$ , dejemos que $I$ denota la matriz de identidad y deja que $D_1 = a I_{k}$ y que $D_2 = -a I_{n}$ . Entonces obtenemos $$ D_1M + MD_2 = aI_kM + M(-a)I_n = aI_kM-aMI_n = aM - aM = 0. $$