Producto punto de un vector no nulo con un vector nulo

Question

El producto punto de dos vectores digamos $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se define como

$$\vec{A} \cdot \vec{B} \equiv AB\cos\theta,$$

donde $A$ y $B$ son las magnitudes de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ respectivamente. El producto punto, en su definición, no sólo incluye las magnitudes de los vectores, sino también el ángulo entre ellos. ¿Por qué el producto punto es cero, si $\vec{A}$ o $\vec{B}$ es un vector nulo? Si $\vec{B}$ digamos, es un vector nulo, entonces su dirección es indeterminada. ¿Qué podemos decir del ángulo $\theta$ ¿entonces? ¿Qué sería $\theta$ es decir, el ángulo entre $\vec{A}$ y $\vec{B}$ si $\vec{B}$ es un vector nulo? ¿Cómo podemos definir $\vec{A}\cdot\vec{B}$ , si $\vec{B}$ es un vector nulo?

Pido disculpas si mi pregunta no es apropiada según las normas, gracias.

Answer 1

Una forma de pensar en ello es que la definición del producto punto se hace para que el producto punto sea continuo en $\vec{A}$ y $\vec{B}$ . Si se arregla $\vec{A}$ y que $\vec{B}\to0$ entonces el Teorema del Apretón de Calc I implica que $|\vec{A}\cdot\vec{B}|\to0$ (ya que $-1\leq\cos(\theta)\leq1$ y $B\to0$ ).

Answer 2

Normalmente, por producto punto (interno) entendemos una forma bilineal simétrica y no degenerada $$\mathbb{V} \times \mathbb{V} \to \mathbb{F}$$ en un espacio vectorial $\mathbb{V}$ sobre un campo $\mathbb{F}$ . (A veces también exigimos que sea definida positiva, pero no es el caso si hay vectores nulos no nulos). El sentido de esta afirmación es simplemente que el ángulo entre dos vectores no forma parte de la definición de producto punto, sino que es una consecuencia de esta definición, y podemos decir simplemente que el ángulo entre un vector nulo y otro vector no está definido, igual que hacemos en el caso familiar cuando el vector nulo es el vector cero.

De hecho, este problema no se limita a los vectores nulos: Si el producto punto tiene signo definido, entonces la cantidad $|X|$ se define como $\sqrt{X \cdot X}$ . Pero si no es definida (es decir, si hay vectores nulos no nulos), entonces también hay vectores $X$ tal que $B(X, X) < 0$ Así que $X \cdot X$ está fuera del dominio habitual de $\sqrt{\cdot}$ . Por lo tanto, tenemos que introducir nuevas convenciones para interpretar $|X|$ y, por tanto, la definición del ángulo $\theta$ en la ecuación $A \cdot B = |A||B| \cos \theta$ . Podemos hacerlo, pero no es muy satisfactorio y, según mi experiencia, nadie habla de ángulos concretos formalmente en este entorno.

Answer 3

Si $\vec{A}$ o $\vec{B}$ es un vector nulo, entonces $A$ respectivamente $B$ sería cero y el lado izquierdo de su definición es cero también. Como todo el mundo espera por el producto punto.

Sí, el ángulo es indeterminado pero, esto no es interesante en ese caso.

Answer 4

La fórmula del producto punto entre dos vectores $\vec{A}=(A_x, A_y)$ y $ \vec{B} = (B_x, B_y)$ es igual a $$A_xB_x + A_yB_y = \vec{A}\cdot \vec{B}$$

Y la prueba de que $A_xB_x+A_yB_y= |A||B|\cos(\alpha)$ con $\alpha \in [0,\pi]$ se demuestra utilizando la ley del coseno y como el ángulo $\alpha$ no está bien definida entre un vero no nulo y un vector nulo por lo que la igualdad no se sostiene.

Sin embargo la primera definición del producto punto está bien definida y supongamos $\vec{A}$ es un vector nulo y $\vec{B}$ es o no es un vector nulo, tienes: $\vec{A}\cdot \vec{B}=0\cdot B_x+0\cdot B_y =0$ .

A veces, por convención, ya que el ángulo no está bien definido sin embargo el producto punto es cero, se dice que el ángulo es $\pi/2.$