¿Cuántos enteros en el rango [1,999] son divisibles exactamente por 7 o 11?

Question

Esta es una pregunta en el libro de Matemáticas Discretas de Kenneth Rosen, 6ª edición. No he tenido problemas con otros problemas de conteo relacionados con "¿cuántos números en el rango [x, y] tienen la propiedad de ser divisible por Z?" Mi problema es que no tengo idea de lo que Rosen está preguntando, es decir, no entiendo la pregunta porque no sé qué quiere que calcule.

Por lo tanto, esto no es un duplicado de esta pregunta (1) https://math.stackexchange.com/questions/588160/how-many-positive-integers-less-than-1000-are-divisible, ya que aunque se da la respuesta, no explica el lenguaje de la pregunta y lo que se está calculando. No tengo idea de por qué el número de enteros divisibles por 7 o 11 menos el número de enteros divisibles por 77 (11 y 7) es la respuesta a esta pregunta. Ambos de estos valores ya los he calculado correctamente (en preguntas separadas).

En contexto: 20. ¿Cuántos números enteros positivos menores a 1000 e) son divisibles exactamente por uno de 7 y 11?

Así que mi pregunta es: ¿qué/números se supone que debo contar/calcular?

Answer 1

Llama a los números que estamos buscando buenos. Un número es bueno si es divisible por $7$ pero no por $11$, o es divisible por $11$ pero no por $7$. Eso es lo que significa "divisible exactamente por $1$ de $7$ y $11".

Sea $a$ el número de números del $1$ al $999$ que son divisibles por $7$, y sea $b$ el número de números que son divisibles por $11$. Si sumamos $a$ y $b$, habremos contado dos veces los números que son divisibles por ambos $7$ y $11$. Sin embargo, no deberíamos haberlos contado en absoluto, no son buenos.

Entonces, para obtener el conteo de los números buenos, debemos encontrar $a+b$, y restarle dos veces el número de números que son divisibles por ambos $7$ y $11, como $77$, $154$, y otros más.

Ahora los conteos son directos. Encontremos $a$. Así que estamos contando los números $7\cdot 1$, $7\cdot 2$, $7\cdot 3$, y así sucesivamente. ¿Cuál es el mayor $k$ tal que $7\cdot k\le 999$? Nota que $\frac{999}{7}\approx 142.71$. Así que el entero más grande $k$ tal que $7\cdot k\le 999$ es $142$. Por lo tanto, $a=142$.

Encontrar $b$, y encontrar el número de números $\le 999$ divisibles por $77$ se hace de manera similar.

Answer 2

Esta pregunta se puede resolver utilizando PIE o Principio de Inclusión y Exclusión, que es una técnica muy útil en el campo de la combinatoria.

Para la pregunta que tienes aquí, dejamos que $A$ (ver Diagrama de Venn abajo) sea el conjunto de números naturales menores que $1000$ que son divisibles por $7$; mientras que dejamos que $B$ sea el conjunto de números naturales menores que $1000$ que son divisibles por $11$.

Desde el diagrama, es claro que queremos las áreas de $A + B - A \cap B$, donde $A \cap B$ se refiere a la intersección de los conjuntos $A, B$. Por lo tanto, el número de enteros divisibles por $7$ o $11$ menos el número de números naturales divisibles por $77$ ($11$ y $7$) es la respuesta a la pregunta.

En general, para la pregunta acerca de cuántos números naturales menores que $k \in \mathbb{Z}$ son divisibles por los enteros en el conjunto ${a_1, a_2, \ldots a_n}$, podemos representar la pregunta en términos de $n$ conjuntos (o círculos en el diagrama de Venn) y luego resolver a partir de ahí.

P.D. ¿Cómo puedo ajustar el tamaño de la imagen???

Answer 3

Veamos un ejemplo más pequeño: los enteros positivos menores que $10$ que son divisibles exactamente por uno de $2$ y $3.

Bueno, $2, 4, 6, 8$ son divisibles por $2$, y $3, 6, 9$ son divisibles por $3$. Hay $6$ enteros positivos que son menores que $10$ y son divisibles por $2$ o $3.

Pero, $6$ es divisible tanto por 2 como por 3. Solo debemos considerar enteros que son divisibles por $2$ o $3 pero no por ambos. Entonces, tenemos $6-1=5$ enteros que son divisibles exactamente por uno de $2$ y $3.

¿Te ha ayudado esto?

Answer 4

Los diagramas de Venn pueden ayudar a tu intuición en esto.

Tienes dos conjuntos, $A$ y $B$; y alguna manera de "contar" conjuntos (cuando miramos un diagrama de Venn inmediatamente pensamos en "área"; para tu problema son "elementos divisibles por"). Si deseas "contar" $A \cup B$, lo que quieres es "contar" $A$ y "contar" $B$ y sumarlos, pero debido a que has "contado" la parte de $A$ que también es parte de $B$ como parte de la "cuenta" de $A$ así como para la "cuenta" de $B$, restas la "cuenta" de $A \cap B$ - que es (para tu ejemplo) los elementos divisibles por 7 Y por 11.

Esto está formalizado como "el principio de inclusión-exclusión", ¡lo cual te animo a buscar en Google!