¿Cuántos enteros del rango [1,999] son divisibles exactamente por 1 de 7 y 11?

Question

Esta es una pregunta del libro de texto de Matemáticas Discretas de Kenneth Rosen, 6ª edición. No he tenido problemas con ningún otro problema de recuento respecto a "¿cuántos números en el rango [x,y] tienen la propiedad de divisibilidad Z?" Mi problema es que no tengo ni idea de lo que pide Rosen, es decir, no entiendo la pregunta porque no sé qué quiere que calcule.

Por lo tanto, esto no es un duplicado de esta pregunta (1) https://math.stackexchange.com/questions/588160/how-many-positive-integers-less-than-1000-are-divisible ya que si bien se da la respuesta, no se explica el lenguaje de la pregunta y lo que se está calculando. No tengo ni idea de por qué el número de enteros divisibles por 7 u 11 menos el número de enteros divisibles por 77 (11 y 7) es la respuesta a esta pregunta. Ambos valores ya los he calculado correctamente (en preguntas separadas).

En contexto: 20. ¿Cuántos enteros positivos menores que 1000 e) son divisibles exactamente por uno de 7 y 11?

Por tanto, mi pregunta es: ¿qué/qué números debo contar/calcular?

Answer 1

Llame a los números que buscamos buena . Un número es bueno si es divisible por $7$ pero no por $11$ , o divisible por $11$ pero no por $7$ . Eso es lo que significa "divisible por exactamente $1$ de $7$ y $11$ " significa.

Dejemos que $a$ sea el número de números de $1$ a $999$ que son divisibles por $7$ y que $b$ sea el número de números que son divisibles por $11$ . Si añadimos $a$ y $b$ habremos contado los números que son divisibles por ambos $7$ y $11$ dos veces. Sin embargo, no deberíamos haberlas contado en absoluto, no son buenas.

Así que para obtener el recuento de los números buenos, debemos encontrar $a+b$ y quitar dos veces el número de números que son divisibles por ambos $7$ y $11$ como $77$ , $154$ y otros más.

Ahora los recuentos son sencillos. Encontremos $a$ . Así que estamos contando los números $7\cdot 1$ , $7\cdot 2$ , $7\cdot 3$ y así sucesivamente. ¿Cuál es el mayor $k$ tal que $7\cdot k\le 999$ ? Tenga en cuenta que $\frac{999}{7}\approx 142.71$ . Así que el mayor entero $k$ tal que $7\cdot k\le 999$ est $142$ . De ello se desprende que $a=142$ .

Encontrando $b$ y encontrar el número de números $\le 999$ divisible por $77$ se hace de forma similar.

Answer 2

Esta cuestión puede resolverse con PIE o Principio de Inclusión y Exclusión que es una técnica muy útil en el campo de la combinatoria.

Para la pregunta que tiene aquí, dejamos que $A$ (ver Diagrama de Venn más abajo) sea el conjunto de números naturales menores que $1000$ que es divisible por $7$ ; mientras que $B$ sea el conjunto de números naturales menores que $1000$ que es divisible por $11$ .

Del diagrama se desprende que queremos que las áreas de $A + B - A \cap B$ , donde $A \cap B$ se refiere a la intersección de conjuntos $A, B$ . Por lo tanto, el número de enteros divisibles por $7$ o $11$ menos el número de números naturales divisibles por $77$ ( $11$ y $7$ ) es la respuesta a la pregunta.

En general, para la pregunta de cuántos números naturales menores que $k \in \mathbb{Z}$ que es divisible por los enteros del conjunto ${a_1, a_2, \ldots a_n}$ podemos representar la cuestión en términos de $n$ conjuntos (o círculos en el diagrama de Venn) y luego resolver a partir de ahí.

P.D. ¿Cómo puedo ajustar el tamaño de la imagen?

Answer 3

Veamos un ejemplo más pequeño: los enteros positivos menores que $10$ que son divisibles exactamente por uno de $2$ y $3$ .

Bueno, $2, 4, 6, 8$ son divisibles por $2$ y $3, 6, 9$ son divisibles por $3$ . Hay $6$ enteros positivos que son menores que $10$ que son divisibles por $2$ o $3$ .

Pero, $6$ es divisible por ambos $2$ y $3$ . Sólo debemos considerar los enteros que son divisibles por $2$ o $3$ pero no ambos . Por lo tanto, tenemos $6-1=5$ enteros que son divisibles exactamente por uno de $2$ y $3$ .

¿Ayuda eso?

Answer 4

Los diagramas de Venn podrían ayudar a tu intuición en esto.

Tienes dos juegos, $A$ un $B$ y alguna forma de "contar" conjuntos (cuando vemos un diagrama de Venn pensamos inmediatamente en "área"; para tu problema es "elementos divisibles por"). Si quieres "contar" $A \cup B$ lo que quieres es "contar" $A$ y "cuenta" $B$ " y sumarlos, pero como has "contado" la parte de $A$ que también forma parte de $B$ como parte del "recuento" de $A$ así como para el "recuento" de $B$ , se resta la "cuenta" de $A \cap B$ - que es (para su ejemplo) los elementos divisibles por 7 Y por 11.

Esto se formaliza como "el principio de inclusión-exclusión", que te animo a buscar en Google.