¿Cómo funciona el correo, o la función exponencial, se refieren a la rotación?

Question

$e^{i \pi} = -1$. Puedo obtener por qué esto funciona a partir de una suma de la serie de perspectiva y desde una perspectiva de integración, como en la que yo pueda evaluar las integrales y encontrar este resultado. Sin embargo, no acabo de entender de forma intuitiva.

Intuitivamente, lo que esto significa para mí es que si gira pi radianes alrededor de un círculo unitario, usted va a terminar exactamente enfrente de donde empezó.

La ampliación de este, para que cualquier theta, $e^{i\theta}$ es equivalente a la rotación $\theta$ radianes alrededor de un círculo unitario. Así que es obvio (si no es intuitivo) para mí que $e^{(\pi/2)i} = i$ $e^{2\pi i} = 1$ y así sucesivamente.

Lo que me pregunto es, intuitivamente, ¿cómo es el logaritmo natural relacionado tan estrechamente con los círculos? Mi comprensión de la $e$ proviene de crecimiento exponencial, y no veo la manera de que los lazos de rotación alrededor de un círculo unitario.

Sé que las fórmulas, pero estoy buscando una explicación intuitiva. Por ejemplo, cuando yo solía preguntar cómo es que el pecado y cos en relación con los círculos, la gente me muestra la serie de taylor o tablas con un montón de valores o decirme el uso de una calculadora, pero no haga clic en hasta que alguien me dijo que el pecado es sólo una medida de la altura de un punto como viajar alrededor del círculo unitario. Entonces todo tiene sentido.

Estoy buscando ese tipo de explicación de $e$ - ¿cómo es $e$ en relación con los círculos y por qué no $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$?

Answer 1

Hay una estrecha relación debate en matemáticas.SE pregunta con un montón de detalles. Déjame ver si puedo resumir tan concisa como puedo:

• Deje $r(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ parametrizar una partícula que se mueve de manera uniforme alrededor del círculo unidad. A continuación, $|r(t)|^2 = \langle r(t), r(t) \rangle = 1$ (donde $\langle \cdot, \cdot \rangle$ denota el producto escalar). La diferenciación de esta relación da $\langle r(t), r'(t) \rangle = 0$; en otras palabras, el desplazamiento es siempre ortogonal a la velocidad. (Esto debería hacer sentido físico.)
• Ya que además de la $r(t)$ se mueve uniformemente tenemos $|r'(t)|^2$ es una constante, y podemos muy bien suponer $|r'(t)| = 1$ por un adecuado cambio de unidades. Por lo tanto $r'(t)$ es $90^{\circ}$ de las agujas del reloj o en el sentido contrario de rotación de $r(t)$.
• Ahora identificar a $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{C}$ e identifique $r$, con una función de $z(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{C}^2$. Si la partícula se mueve hacia la izquierda, a continuación, lo anterior implica que $z'(t) = i z(t)$.
• Pero esta ecuación diferencial tiene solución única $z(t) = e^{it} z(0)$.

Así que el hecho de que la multiplicación por $i$ es la misma que la rotación por $90^{\circ}$ realidad implica inmediatamente más en general, de hecho se trata de rotaciones arbitrarias a través de la fórmula de Euler (a pesar de que uno no necesita fórmula de Euler para ver esto, por supuesto). La otra lección a tener en cuenta aquí es que el $e$ se muestra siempre que resolver lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias. De modo abstracto, esto es debido a que $e^{\lambda z}$ es un vector propio para el operador de la derivada de autovalor $\lambda$.

Yo creo que estos son importantes y preguntas fundamentales, y es una lástima que no hubiera más claramente dirigido a cualquier lugar en el plan de estudios de pregrado.

---

Así que, para resumir: $e^{it}$ es un número complejo $\cos t + i \sin t$ que describe la rotación en sentido antihorario por $t$ radianes. De ello se sigue que si $z$ es un número complejo de valor absoluto $1$, entonces los posibles valores de $\log z$ son puramente números imaginarios $it$ tal que $e^{it} = z$; en otras palabras, son los posibles valores de $t$ tal que $z$ describe la rotación por $t$ radianes. Así que tomando el logaritmo de una rotación le da un ángulo.

Answer 2

Cuando yo personalmente fui en la búsqueda de una intuitiva comprensión de la relación entre el Número de Euler y Rotaciones. Yo casi siempre de encontrar explicaciones que perdió totalmente el punto y, en su lugar, se explica la motivación para el imaginario de los exponentes en general. Sí, este es el conocimiento necesario, pero no es el fin de la historia. Como la imagen de abajo ilustra cualquier Número Real a un Imaginario Exponente creará una Parametrización de un Círculo Unitario en el Plano Complejo.

La verdadera razón por la que elegir a utilizar el Número de Euler sobre cualquier otro es porque es el único "Factor de Crecimiento" que se correlaciona con un Círculo Unidad Parametrización con la Longitud del Arco.

Es decir, para $B^{i t}$, la Longitud del Arco de un Círculo Unitario = 1 cuando t = 1, si y sólo si $B = e$.

Por lo $e^{it}$ es un muy bonito y pequeño y conveniente de la fórmula con el Parámetro $t$ corresponde exactamente a la medida de la Longitud del Arco. A partir de la cual también nos indican el Ángulo en general a través de Radianes.

Sin embargo, estamos de nuevo con otra pregunta ahora. Qué es exactamente lo que el Número de Euler es el "Factor de Crecimiento" que se correlaciona con un Círculo Unidad Parametrización con Longitud de Arco?

Después de todo $e$ presenta generalmente en forma puramente analítica de la moda, relativa a la función de crecimiento y, ciertamente, no parece tener dicha conexión directa a la Longitud del Arco de un Círculo.

Este es realmente el quid de la cuestión y es algo que creo que realmente sólo pueden ser vistos por examinar el "Movimiento de la Partícula" analogía en detalle.

Advertencia: Palabreo explicación por delante!

Parte 1:

Me parece que pensar acerca de esto en términos de la Física es la forma más clara y completa explicación.

Curiosamente se muestra cómo el llamado "profunda conexión" entre el Número de Euler y Pi resulta ser nada más que la conocida propiedad de la Función Exponencial Natural de ser igual para todos sus Derivados.

Hay mucho que hacer en los tres fotos así que permítanme que les explique punto por punto.

Cada gráfico representa un Círculo Unidad Parametrización en el Plano Complejo con Números Reales va horizontalmente y los Números Imaginarios verticalmente.

El primer gráfico se utiliza la ecuación de $f(z) = 2^{i t}$. El segundo $f(z) = e^{i t}$ y la tercera $f(z) = 3^{i t}$.

Donde $t$ pistas de $[0,1]$.

Para cada gráfico la Luz de la Curva Azul corresponde a la función en sí, mientras que el Amarillo, el Verde y el Naranja Curvas son las 1ª, 2ª y 3ª Derivados.

La consecuencia de color Vectores derivados desde el Origen son los Vectores de Posición de que "barrer" a sus respectivos Curva.

La Luz Azul del Vector de Posición (que es la función en sí, no a uno de sus Derivados) también ha Vectores adicionales derivados de ella, que indican su Velocidad (Azul Oscuro), la Aceleración (en Rojo) y la Sacudida (Púrpura). Donde Sacudida es simplemente la Derivada de la Aceleración.

Observe cómo en los tres diferentes bases de la Velocidad, la Aceleración y la Sacudida que los Vectores son siempre Perpendiculares entre sí.

Sin embargo, sólo la fórmula usando el Número de Euler como una Base de Derivados que parecen "line-up" el uno con el otro.

El entender por qué es esto y por qué es importante vamos a entrar de lleno en la Física de modo.

Parte 2

En primer lugar, asumir el Círculo Unidad Parámetro es el Tiempo en Segundos.

La idea esencial es que para un Radio de Longitud de 1 a mover 1 Longitud de Arco en 1 Segundo, es necesario tener una Velocidad de 1, Aceleración de 1, Sacudida de la 1, etc.

(Así como todos los seres Perpendiculares uno al otro, pero cualquier Factor de Crecimiento de un General de la Función Exponencial da la Perpendicular Derivados de la propiedad.)

Si interpretamos la Longitud de Arco como una medida general de la Distancia.

Para que una Partícula se mueva de 1 Metro en 1 Segundo, es necesario tener una Velocidad de 1 Metro Por Segundo.

Para que esto se sostenga verdadero indefinidamente, es necesario tener un Paralelo con la Aceleración de cero. Es decir, no puede frenar ni acelerar.

Sin embargo, se puede tener Perpendicular de la Aceleración. Esta Perpendicular de la Aceleración debe conservar las propiedades anteriormente mencionadas no importa la magnitud como el tiempo es sólo estrictamente perpendicular a la Velocidad.

Si ahora añadimos una restricción adicional, que de una "Órbita Estable" de la forma de perfecto eterno movimiento circular.

Entonces nos encontramos con que la Perpendicular de la Aceleración debe cambiar la Velocidad de 1 Metro Por Segundo cada Segundo (dada una Órbita con un Radio de 1 Metro).

Esto es debido a que siempre debe estar apuntando "hacia adentro", pero que la dirección "hacia adentro" se corresponde a que cambia constantemente como las órbitas de las partículas.

En consecuencia nos encontramos con que ninguno de los de la Partícula Derivados (hasta el Infinitith Fin de Derivados!) puede ser Cero y, de hecho, todo debe ser Constante. En esta situación, de hecho, todos ellos deben ser 1. (Es decir, por supuesto, que todas sus Magnitudes debe ser Constante y en este caso son iguales a 1. Sus Indicaciones están constantemente girando a su alrededor para mantener sus posiciones perpendiculares uno al otro).

Esto es debido a que en eterno movimiento circular todos de una Partícula Derivados deben ser constantemente "corregir" los Derivados más baja que en el fin de mantener los constantes cambios instantáneos en movimiento para siempre.

Espero que esta divagando explicación fue muy útil. Yo solo post porque después de pasar semanas leyendo sobre el Número de Euler, Trigonometría y Números Complejos que esa era la única explicación que finalmente todos los detalles de "clic" para mí y yo no podía encontrar una explicación en línea en cualquier lugar después de mucho buscar.

Answer 3

El complejo logaritmo es bastante diferente de la real, con valores de logaritmo. De hecho, es multi-valuadas.

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm

Mientras está de acuerdo con el valor real logaritmo en el eje real, si usted toma el $R>0$, luego a medida que atraviesan el círculo de $|z| = R$, el valor del logaritmo complejo se incrementa linealmente con la $\arg z$ hasta volver al mismo lugar. Por ejemplo, si usted toma el círculo unidad, empezar a $1$, pasan a través de $i$, $-1$, y $-i$, luego cuando vuelva a $1$ el logaritmo se han incrementado por $2\pi i$. Esto proviene del hecho de que $\exp$ es periódica, como usted ha señalado, al darse cuenta de su relación con la identidad de Euler.

Normalmente, tomamos una rama del logaritmo complejo (que tiene discontinuidades a lo largo de un rayo desde el origen, cuya ubicación podemos elegir, y normalmente nos elija, ya sea positivo o negativo eje real), pero la función real que se ve un poco como una hélice o espiral.

Por lo tanto, la relación entre el $\log$ y el círculo es que, cada vez que se vaya de una vez alrededor del círculo, la ganancia de $2\pi i$.

Si usted está interesado en obtener más de esto, usted debe estudiar holomorphic funciones y de los residuos. En una región donde una holomorphic función es holomorphic (con ciertas agradable propiedades como la de ser simplemente conectado), la integral alrededor de cualquier curva cerrada es cero. Simple polos de un holomorphic función de $f$ son puntos donde, a nivel local, $f$ se parece a $1/z$. Ustedes recordarán que, en el análisis real, la anti-derivada de $1/z$$\log(z)$. Desde $\log$ tiene una rama cortada, esto no puede ser un holomorphic anti-derivado de la $1/z$, por lo que necesitan un poco mas de poder integrar a $1/z$, pero resulta que la integral a lo largo de un círculo alrededor de un poste como que va a ser exactamente $2\pi i$, y esto es precisamente porque, al tomar una rama de $\log$, se obtiene un salto de $2\pi i$ cuando regrese a su punto de partida.

---

Más simplemente, recordar que la multiplicación es la misma como la suma de los logaritmos. En los números complejos, la multiplicación corresponde a la adición de los argumentos (ángulos). Por lo tanto, usted puede agregar algo ($2\pi i$ resulta) a su logaritmo, que corresponde a la multiplicación por algo que te lleva a una vuelta alrededor del círculo. Este es tal vez más fácil de ver, más intuitiva de la relación.

Answer 4

$ \ln{\left( x+ \hat{i}\,y \right)} = \ln{\sqrt{\left( x^2+y^2 \right)}+ \hat{i}\,\bronceado^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)} $

cuando se utilizan coordenadas polares $x=r\,\cos\theta$ , $y=r\,\sin\theta$

$ \ln{\left( r\,\cos\theta+ \hat{i}\, i\,\sin\theta \right)} = \ln{r} + \hat{i}\,\theta $

Así que el logaritmo de un número complejo que representa el ángulo de rotación en el imaginario de las unidades.