¿De cuántas maneras diferentes se puede distribuir $5$ manzanas y $8$ naranjas entre seis niños si cada niño debe recibir al menos una pieza de fruta?

Question

¿De cuántas maneras diferentes se puede distribuir $5$ manzanas y $8$ naranjas entre seis niños si cada niño debe recibir al menos una pieza de fruta? Si hay una manera de resolver esto usando Pólya-Redfield sería genial, pero no puedo averiguar los elementos del grupo.

Sé que esto es un duplicado de: ¿De cuántas maneras diferentes puedes distribuir 5 manzanas y 8 naranjas entre seis niños? . Pero no puedo comentar sobre esto o ponerse en contacto con el miembro que explicó la tarea.

¿Podría alguien explicar con más detalle cómo aplicar esto, especialmente cómo evaluar las sumas?

¿Tal vez alguien tenga más ejemplos? ¿O incluso un libro con ejercicios resueltos? El problema principal es que no sé lo que necesito saber para aplicarlo.

Aplicación 1: ¿Cuántos modelos de collares circulares distintos son posibles con n cuentas, estando éstas disponibles en k colores?

Podría resolverse con el lema de Burnside, pero tampoco tengo idea de cómo aplicarlo.

Answer 1

No creo que este sea un caso para la teoría de Polya. A continuación propongo un enfoque de función generadora. Asumo que las manzanas son indistinguibles, las naranjas son indistinguibles, pero los niños son distinguibles.

Supongamos por el momento que hay un suministro ilimitado de manzanas y naranjas. Un niño puede recibir $j$ manzanas y $k$ naranjas, por lo que $j+k\geq1$ . Esta opción entrará con peso $x^jy^k$ en el siguiente cálculo. La suma formal de todas las opciones para un niño es entonces $$f(x,y):={1\over1-x}{1\over1-y}-1={x+y-xy\over(1-x)(1-y)}\ .$$ En el producto $f(x,y)\cdot f(x,y)$ cada opción $x^{j'}y^{k'}$ de un primer hijo se multiplica con cada opción $x^{j''}y^{k''}$ de un segundo hijo y almacenado como $x^{j'+j''}y^{k'+k''}$ . Recogida de términos de los mismos grados combinados $(j,k)$ entonces cuenta el número de asignaciones en las que los dos niños juntos han recibido $j$ manzanas y $k$ naranjas. De ello se desprende que las opciones combinadas para los seis niños suman $$f^6(x,y)=(x+y-xy)^6\>\sum_{j=0}^\infty{-6\choose j}(-x)^j\>\sum_{k=0}^\infty{-6\choose k}(-y)^k\ ,$$ y el número $N$ que buscamos es el coeficiente de $x^5y^8$ en esta expansión. Por lo tanto, podemos restringir la primera suma a $j\leq5$ y la segunda suma a $k\leq8$ y luego dejar que Mathematica haga el trabajo. La respuesta es $N=70\,608$ .

Answer 2

Aquí hay otra respuesta "elemental", algo similar a la respuesta de @user84413.

Dejemos que $j\in[5]$ sea el número de niños que reciben al menos una manzana. Dado $j$ podemos hacer lo siguiente:

1. Elija $j$ de los seis niños en ${6\choose j}$ maneras, y dar a cada uno de ellos una manzana.

2. Distribuya el resto $5-j$ manzanas de forma arbitraria entre las $j$ niños elegidos. Según "estrellas y barras" (S&B) esto puede hacerse en $${j+(5-j)-1\choose j-1}={4\choose j-1}$$ formas.

3. Dar una naranja a cada uno de los $6-j$ niños que no ha recibido una manzana.

4. Distribuya el resto $8-(6-j)=2+j$ naranjas de forma arbitraria entre los seis niños. Según S&B esto puede hacerse en $${6+(2+j)-1\choose 6-1}={7+j\choose5}$$ formas.

El número $N$ de asignaciones admisibles de los frutos viene dada, por tanto, por $$N=\sum_{j=1}^5{6\choose j}\cdot{4\choose j-1}\cdot{7+j\choose5}=70\,608\ .$$ Dados los pequeños números que ocurren aquí, el último cálculo se puede hacer con lápiz y papel, como en la respuesta del usuario84413.

Answer 3

Si consideramos las distribuciones de las 5 manzanas, tenemos 7 posibilidades:

$a) \; 5 \; \;b) \;4+1 \;\;c)\; 3+2 \;\; d)\; 3+1+1 \;\; e) \;2+2+1 \;\; f) \;2+1+1+1 \;\; g) \;1+1+1+1+1$

Para cada uno de estos casos, tenemos el siguiente número de formas de distribuir las manzanas y las naranjas (multiplicando el número de formas de distribuir las manzanas por el número de formas de distribuir las naranjas restantes después de que cada niño sin manzana haya recibido una naranja):

$a)\;\;6\cdot\binom{8}{5}=336$

$b)\;\;6(5)\cdot\binom{9}{5}=3780$

$c)\;\;6(5)\cdot\binom{9}{5}=3780$

$d)\;\;6\binom{5}{2}\cdot\binom{10}{5}=15120$

$e) \;\;6\binom{5}{2}\cdot\binom{10}{5}=15120$

$f)\;\;6\binom{5}{3}\cdot\binom{11}{5}=27720$

$g)\;\;6\cdot\binom{12}{5}=4752$

Esto da un total de $\color{blue}{70,608}$