Que $E\subseteq \mathbb{R}^1$ ser un conjunto de innumerables. ¿Podemos obtener un subconjunto $F\subseteq E$ que es cerrado e incontables?
Básicamente, quiero construir algún conjunto que contiene sólo números irracionales que también innumerables y cerrado, en un sentido, me gustaría saber un proceso general para la construcción de estos conjuntos.
¡Gracias!
En general esto no se puede hacer. Esto es debido a la existencia de Bernstein conjuntos. $B \subseteq \mathbb{R}$ es un conjunto de Bernstein si tanto $B$ $\mathbb R \setminus B$ tiene intersección no vacía con cada innumerables conjunto cerrado. En particular, estos conjuntos no contienen innumerables subconjunto cerrado.
Por supuesto, estos conjuntos no son muy agradables: no tiene la propiedad de Baire, y no son Lebesgue medibles. Para subconjuntos de Borel $\mathbb R$ tenemos un resultado positivo en la forma de la perfecta propiedad: cada subconjunto de Borel $\mathbb R$ es contable, o contiene un subconjunto perfecto.
Para el caso específico de los números irracionales, hay varias construcciones dada en la anterior pregunta:
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