cómo mostrar que $ \int_0 ^ \infty \sin (x^2) dx$ converge

Question

Posible duplicado:
Demuéstralo: $ \int_ {0}^{ \infty } \sin (x^2) dx$ converge.

¿Qué prueba utilizo para demostrar que la siguiente integral converge? $$ \int_0 ^ \infty \sin (x^2) \; dx$$

Answer 1

Tratamos la integral de (digamos) $1$ a $\infty$ .

En principio, deberíamos considerar $\int_1^M \sin(x^2)\,dx$ , entonces dejemos que $M\to\infty$ .

Utiliza la integración por partes. Sea $f(x)=\frac{1}{x}$ y $g'(x)=x\sin(x^2)$ . Entonces $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ y podemos tomar $g(x)=-\frac{1}{2}\cos x^2$ .

Terminamos con $$\int_1^M\sin(x^2)\,dx=\left. -\frac{1}{2x}\cos(x^2)\right|_1^M -\int_1^M \frac{1}{2x^2}\cos(x^2)\,dx.$$ Ahora dejemos que $M\to \infty$ . Obsérvese que la integral restante se comporta muy bien como $M\to\infty$ ya que $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}$ converge, y $|\cos(x^2)|$ está acotado.

Answer 2

Aquí hay mucha información:

http://en.wikipedia.org/wiki/ Fresnel_integral

Véase especialmente la sección Evaluación .

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@rlgordonma y @experimentX

Sólo veo que a los franceses les gusta tanto su Fresnel, que su página de wikipedia tiene de hecho una sección sobre la convergencia, así como derivaciones del valor final:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Fresnel