En un texto que estoy leyendo, el autor define dos normas en un espacio vectorial $X$ a ser equivalentes si producen el mismo topología en $X$. El texto no define lo que significa, sin embargo, por dos topologías de ser equivalentes. La única definición que considero que parece razonable es que dos topologías $T_1$ $T_2$ son equivalentes si un conjunto abierto en $T_1$ es un conjunto abierto en $T_2$, y a la inversa. Desde abrir establece una normativa espacio está determinado por la norma relativa a abrir las bolas, esto significaría que cualquier bola abierta sobre un punto de $x$ con respecto a una norma, no sólo contiene una bola abierta acerca de $x$ con respecto a la otra norma, pero también se encuentra dentro de una bola abierta en relación a la otra norma. Es esta la forma correcta de mirar la situación? Es mi definición de "equivalente toplogies" apropiado en este contexto?
Respuestas
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Dadas dos topologías $\tau,\tau'$ sobre un conjunto $X$, podemos decir $\tau$ es más grueso (o débil) de $\tau'$ fib $\tau\subset\tau'$. En consecuencia podemos decir $\tau'$ es más fino (o más fuerte) de $\tau$.
De forma equivalente, esto significa $\tau$ tiene más (léase:no menos) se abre, o, equivalentemente, $\tau$ tiene más (léase:no menos) de los barrios, o, equivalentemente, la identidad mapa del juego de $(X,\tau)\to (X,\tau')$ es continua, o, equivalentemente, para cada subconjunto en el cierre, en $\tau$ está incluido en el cierre de la $\tau'$.
Por lo tanto las siguientes son formas equivalentes de decir que $\tau,\tau'$ son de la misma:
$\tau=\tau'$
cada una de las $\tau$ $\tau'$ es más grueso/fino que el otro
$\tau,\tau'$ tienen exactamente el mismo abre
$\tau,\tau'$ tienen exactamente los mismos barrios
para cada subconjunto, sus cierres en $\tau$ y en $\tau'$ coinciden.
la identidad mapa del juego de $(X,\tau)\to (X,\tau')$ es un homeomorphism.
Dos normas son equivalentes si producen el mismo topología. Así que no importa si el autor de su libro define el concepto de "equivalente topologías", ya que él no lo necesita (al menos no aquí). I. e., trabajo con igualdad de topologías. (Que es reflexiva, simétrica y transitiva, por lo que usted puede llamar a la misma topologías equivalente, si lo desea. Sin embargo, el nombre de "equivalente" sería redundante.)
También se preguntó si a esto:
conjunto abierto en $T_1$ es un conjunto abierto en $T_2$ y por el contrario
es la misma como la igualdad de las topologías. De hecho, lo es. Cada conjunto abierto en $T_1$ ser abierta en $T_2$ es la inclusión $T_1\subseteq T_2$. A la inversa implicación le da a la inversa de la inclusión.
Por CIERTO, supongo que todo esto ya estaba dicho en los comentarios.
Dos topologías se llaman equivalentes si alguno no está vacía conjunto abierto de la primera topología no está vacío conjunto abierto de la segunda topología y, por el contrario, cada no-vacío conjunto abierto de la segunda topología contiene no vacío abierto conjuntos de la primera topología.
Esto NO significa que las dos topologías son las mismas. Así que me dan mis dos votos de vuelta! :)
En el caso de la normativa de los espacios, esta condición puede ser escrito en una muy buena manera: dos normas $||\cdot||_1$ $||\cdot||_2$ $X$ son equivalentes si y sólo si existen dos números positivos $C_1,C_2>0$ tal que, para todos los $x\in X$,
$$ C_1||x||_1\leq||x||_2\leq C_2||x||_1 $$
usted puede comprobar por sí mismo que esta condición es equivalente a la que existe entre espacios topológicos sólo recordar lo que es una base de bloques abiertos de la topología inducida por una norma.
