Cómo identificar a un cociente de un grupo dado de gratis

Question

$\newcommand{\Z}{\mathbf Z}$

Problema. Deje $G$ ser el grupo libre generado por tres símbolos $a, b$$c$, y vamos a denotar $G$ escrito $F(a, b, c)$. Deje $N$ normal subgrupo de $G$ generado por las palabras $aba^{-1}b^{-1}$$cbc^{-1}b^{-1}$. Quiero averiguar qué es $F(a, b, c)/N$.

Pedí este de mi amigo y él dijo que su conjetura es $$F(a, b, c)/N \cong \Z\times F(x, z)$$ donde $F(x, z)$ denota el grupo libre generado por dos símbolos $x$$z$.

No estoy seguro de cómo llegó a esto, supongo, pero este parecía prometedor cuando he considerado que la homomorphism $F(a, b, c)\to \Z\times F(x, z)$ que satisface $$a\mapsto (0, x),\quad b\mapsto (1,\epsilon),\quad c\mapsto (0, z)$$

Aquí $\epsilon$ es la palabra vacía en $F(x, z)$. Este es surjective homomorphism cuyo kernel $K$ contiene $aba^{-1}b^{-1}$$cbc^{-1}b^{-1}$. Por lo tanto, $K$ contiene $N$.

Así que si me podía mostrar lo $K=N$, entonces estoy hecho. Pero no puedo ver cómo mostrar este. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Probablemente llegó a la conjetura señalando que quotienting por $aba^{-1}b^{-1}$ $a$ $b$ viaje. Asimismo, para $c$$b$. Por lo que podemos sacar todos los $b$s hacia el frente, decir, convertir cualquier expresión en $b^nE(a,c)$ donde $E(a,c)$ es una expresión (la palabra) que sólo implican $a$$c$$n\in\mathbb{Z}$. En este punto se puede mostrar directamente el isomorfismo.

Una forma de completar la prueba en la dirección en la que iba con la forma normal es considerar lo que la inversa de la imagen de su homomorphism, vamos a llamar a $\varphi$, es en el elemento de identidad $(0,\epsilon)$. Usted sabe, porque la $K$ contiene $N$ que $\varphi(w) = (0,\epsilon)$ sólo al $\varphi(w') = (0,\epsilon)$ donde $w' = b^nf(w)$ donde $f(b) = \epsilon$,$f(a) = a$, y $f(c) = c$, es decir, $f(w)$ $w$ todos los $b$s borrados. Ahora $\varphi(b^nf(w)) = (0,\epsilon)$ sólo al$n = 0$$w = \epsilon$, la segunda porque no hay nada relativo $a$$c$. Esto implica que el núcleo de $\varphi$ no es mayor que $N$.