¿Trayectoria continua dentro del Mandelbrot fijado conecta a cero?

Question

Esto se relaciona con otro desafío Pregunta sobre el dibujo Mandelbrot filamentos.

Es posible calcular una fórmula para un camino continuo dentro del Conjunto de Mandelbrot conexión c=i c=0? Obviamente, la parte interior de la cartoid o lóbulos es fácil, pero encontrar en el Conjunto de la curva que incluye me ha eludido a mí. Sé el Mandebrot límite es infinitamente larga y detallada, pero si un filamento tiene cualquier finito espesor debe ser de una longitud finita camino a través de él, que no sigue el límite.

Traté de encontrar una dirección en la que uno podía viajar desde la i por una distancia muy corta y permanecer en el juego, pero incluso los que huían de mí.

Para mostrar la topología estamos en contra, aquí es el $|z_{25}|==2$ contorno en las inmediaciones del yo.

Así, se puede derivar una fórmula para el camino que yo quiero?

Como un aparte, vale la pena señalar que i es un Punto de Misiurewicz, es decir, su órbita no es inmediatamente periódico, pero se convierte en así que después de un número finito de pasos, es decir, $z_3(i)=z_1(i)$. Esta propiedad lugares en los que estuve exactamente en la frontera del conjunto de Mandelbrot.

$$i\rightarrow-1+i\rightarrow-i\rightarrow-1+i\rightarrow-i\rightarrow-1+i\rightarrow-i...$$

Answer 1

He aquí un zoom en el conjunto de Mandelbrot centrado en $i$, con un factor de 10 de ampliación por fotograma. Como se puede extrapolar desde el primer fotograma, en su camino va a tener que ir a través de un número infinito de los bulbos antes de llegar a cualquiera de los filamentos. A continuación, habrá un número infinito de pequeñas Mandelbrot islas para pasar a través de, como son densos en los filamentos (tienen muy pequeño muy rápidamente). Por último tendrás que pasar a través de un número infinito de 3 vías Misiurewicz los puntos de ramificación, alrededor de la cual el conjunto de Mandelbrot es asintóticamente auto-similar.

Todo esto significa que estoy muy en duda de que existe una fórmula sencilla para la trayectoria deseada, si hay uno en todos. Y si por "dentro del conjunto de Mandelbrot" que significa "en el interior del conjunto de Mandelbrot", entonces no hay tal camino posible, porque vas a tener que tocar el límite de la 3-forma de la ramificación de Misiurewicz puntos.

PS: esta imagen se representa mediante exterior estimación de la distancia, que expliqué en mi respuesta a tu otra pregunta.