Aclaración para la prueba de $\mathbb{Q}$ siendo denso en $\mathbb{R}$ (PMA de Rudin)

Question

Teorema 1.20(b) en la página 9 de "Principios del análisis matemático" de Rudin, 3ª edición. Para los que no tengan el texto a mano:

1.20 Teorema

(a) Si $x \in \mathbb{R}$ y $x > 0$ entonces hay un número entero positivo $n$ tal que $nx > y$ .

(b) Si $x \in \mathbb{R}$ , $y \in \mathbb{R}$ y $x < y$ entonces existe un $p \in \mathbb{Q}$ tal que $x < p < y$ .

También una imagen a la página en cuestión: http://i.imgur.com/bufiYkE.png

Se nos da que $x < y$ Por lo tanto $y - x > 0$ es evidente para mí. Rápidamente pierdo a Rudin después de este paso. Entiendo que la propiedad arquimédica $(a)$ se está utilizando para la siguiente línea, donde dice $n(y - x) > 1$ Sin embargo, no tengo ni idea de dónde está el número " $1$ de donde vino".

Además, dice que hay que aplicar $(a)$ de nuevo, pero no tengo ni idea de lo que significa "aplicar" un teorema arbitrariamente. No dice a qué aplicarlo, y si quería decir aplicarlo en $n(y - x) > 1$ Entonces estoy aún más confundido con el siguiente paso. Él "aplica" $(a)$ para obtener enteros positivos $m_1$ y $m_2$ tal que $m_1 > nx$ y $m_2 > -nx$ . Según tengo entendido, la propiedad arquimédica dice que para $x > 0$ hay un número entero positivo $n$ tal que $nx > y$ . No entiendo cómo $m_1 > nx$ y $m_2 > -nx$ seguir esta propiedad. En $m_1 > nx$ el signo de igualdad se invierte desde la definición de la propiedad arquimédica, y para $m_2 > -nx$ , hay un signo negativo.

Y luego la siguiente línea, dice "por lo tanto" hay un número entero $m$ (con $-m_2 \leq m \leq m_1$ ) tal que $m - 1 \leq nx \leq m$ . No entiendo cómo se puede deducir de las líneas anteriores ( $m_1 > nx$ y $m_2 > -nx$ ) para llegar a ésta. ¿Dónde están todos estos $m$ ¿de dónde viene? La única conexión que veo es ese número $1$ de $n(y - x) > 1$ desde el primer paso. No tengo ni idea de dónde están $m$ apareció de la nada.

Answer 1

Su confusión parece surgir porque el principio de Arquímedes se enuncia en términos de $x,y$ y tienes diferentes $x,y$ en (b). Replantear el principio de Arquímedes como:

(a) Si $u,v$ son números reales, con $u>0$ entonces hay un número entero positivo $k$ tal que: $ku>v$ .

(Lo único que he hecho es cambiar las variables, espero).

Ahora, $1$ es un número real, $y-x$ es un número real, y has demostrado que $y-x>0$ . Así que sabemos por (a) que si $u:=y-x$ y $v:=1$ que existe un número entero positivo, que llamaremos $n$ , de tal manera que $(y-x)n>1$ .

Del mismo modo, como sabemos que $nx$ es un número real, y sabemos que $1$ es un número real y $1>0$ que a partir de (a), fijando $u:=1$ y $v:=nx$ que hay un número entero positivo que llamaremos $m_1$ tal que $m_1\cdot 1 > nx$ .

Por último, establece $u:=1>0$ y $v:=-nx$ para demostrar que debe haber una $m_2$ para que $m_2\cdot 1>-nx$ .

El último paso es más sutil y no utiliza (a). Dado que $m_2>-nx$ , $-m_2<nx$ . Así que sabemos que $-m_2<m_1$ .

Ahora, necesitas una propiedad de los enteros: Si un conjunto no vacío de enteros tiene un límite inferior, entonces tiene un elemento menor.

Toma el set $S=\{m\in\mathbb Z: m> nx\}$ . Sabemos que $m_1\in S$ Así que $S$ es no vacía, y sabemos que $-m_2$ es un límite inferior para $S$ . Así que hay un elemento mínimo $m\in S$ . Entonces $m-1\notin S$ y por lo tanto $m> nx$ y $m-1\leq nx$ . Así que $m-1\leq nx< m$ .

Answer 2

En la "Introducción al Análisis Real" de Bartle y Sherberts se demuestra este resultado con corolarios preliminares (notarás que son en cierto modo resultados que también utiliza Rudin).

Y con estos resultados se demuestra lo siguiente:

Esperemos que con este enfoque ahora puedas entender la prueba de Rudins.

Answer 3

Dejemos que $ x < y $ sean reales. Debemos demostrar que existe un número racional $ \frac{m}{n} $ estrictamente entre ellos, es decir, que $ x < \frac{m}{n} < y $ para algún número entero $ m $ y un número entero positivo $ n $ .

Equivalentemente, queremos un número entero positivo $ n $ tal que $ (nx, ny) $ tiene al menos un número entero $ m $ en él.

Así que basta con elegir un $ n $ tal que la longitud del intervalo $ ny - nx $ es $ > 1 $ y esto es posible por la propiedad de Arquímedes.