Hey chicos tengo un problema de matemáticas No estoy seguro de cómo ir sobre la solución. Si alguien pudiera darme un método sistemático para resolver este tipo de problemas que sería genial. El problema es el siguiente:
Encuentre una fórmula para una función$f$ que cumpla las siguientes condiciones:
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Método sistemático: Tiene un comportamiento diferente en$-\infty, 0, 2, 3, +\infty$. Por lo tanto, basta con crear una función definida por partes:$$f(x)=\begin{cases} a(x) & x<0\\ b(x) & 0<x<2\\ c(x) & 2\le x< 3 \\ d(x) & 3<x\end{cases}$ $
Ahora encuentre las funciones$a,b,c,d$ para satisfacer los parámetros deseados.
bien, entonces, en primer lugar, al analizar el problema. Aviso de ciertas cosas:
Así:
$$f(x) =- \frac{x-2}{x^2(x-3)}$$
Echa un vistazo a la gráfica.
He aquí un enfoque general para encontrar una función racional que tiene el comportamiento que usted está buscando. En particular, estoy asumiendo que usted ha dado la siguiente:
Los valores de $f$ en ciertos puntos son cero.
Los límites de $f$ acercarse a algunos de los puntos de arriba o de abajo se $\pm \infty$; estos puntos son $x \to \pm \infty$, donde el límite también puede ser especificado como $0$.
Voy a suponer que la función especificada no debe tener ningún otro "infinitos" a las especificadas, pero puede tener otros ceros. Voy a seguir necesidad de asumir que los límites de $x \to \pm \infty$ son idénticas, de cualquiera de los dos ceros o ambos infinitos (posiblemente de signos opuestos), o el problema no puede ser resuelto con funciones racionales. Mencionaré al final una manera de manejar esto el uso de exponenciales, aunque.
$$ a_1 = 0\\ a_2 = 2 \\ a_3 = 3, $$ y $k = 3$, debido a que hay 3 breakpoints, mientras que $$ b_0 = -1\\ b_1 = 1\\ b_2 = 2.5 \\ b_3 = 4. $$
También necesitaremos que el comportamiento como $x \to \pm \infty$, pero dejemos eso para más tarde.
Para cada par de breakpoints, elige otro punto entre ellos, con puntos extra en los extremos:
\begin{align} b_0 = a_1 - 1 \\ b_1 = \frac{1}{2} (a_1 + a_2) \\ \ldots b_{k-1} = \frac{1}{2} (a_{k-1} + a_k) \\ b_{k} = a_k + 1 \end{align}
$$ f_1(x) = C (x-b_0)^{m_0}(x - a_1)^{n_1} (x-b_1)^{m_1}(x-a_2)^{n_2} \cdots (x-a_k)^{n_k} (x-b_k)^{m_k} $$ Vamos a recoger los exponentes $n_i$ ser $+1, -1,$ o $-2$, y los exponentes $m_i$ ser $0$ o $1$.
(a) Si el valor en $a_i$ es cero, pick $n_i = 1$.
(b) Si el límite de ambos lados es $+\infty$, o de ambos lados es $-\infty$, pick $n_i = -2$.
(c) Si los límites de los dos lados son infinitos de signos opuestos, pick $n_i = -1$.
(d) Buscar en cada intervalo entre los breakpoints. Supongamos, por ejemplo, que el $a_3 = 2$ $a_4 = 5$ son puntos adyacentes, y te dicen $$ \lim_{x\2^{+}} = +\infty \\ \lim_{x\to 5^{-}} = -\infty $$ A continuación, la función debe cambiar de signo en el intervalo de $[2, 5]$; en este caso, se establezca el exponente $m_3$$(x - b_3)$$+1$.
Por otro lado, si entre los breakpoints, no hay ninguna señal de cambio, establecer el exponente $m_i$ de que el intervalo de cero.
Si su función es la especificada para tener un valor de $0$ algunos $a_i$, se debe considerar como un signo de cambio allí.
Vamos a aplicar esto a tu ejemplo:
En $-\infty$, el valor es $0$. Podemos suponer que a medida que nos acercamos $-\infty$, nos acercamos a cero desde arriba, así que vamos a decir que el valor en el primer intervalo, $-\infty < x < 0$, es positivo en el extremo izquierdo, pero se convierte en negativo cerca de $x = 0$ (porque el límite en 0 $-\infty$). Así que, usando la regla d, recogemos $m_0 = 1$.
En $x = a_1 = 0$, el límite de ambos lados es $-\infty$, de modo que la regla de $b$ dice $n_1 = -2$.
En el intervalo de $0 < x < 2$ (es decir, de$a_1$$a_2$), la función debe ir de$-\infty$$0$; vamos a elegir para hacerla siempre negativo --- que es la opción más sencilla - - -$m_1 = 0$. En $x = a_2 = 2$, la función tiene que ser cero, de modo que la regla de "a" dice que $n_2 = 1$. Y el "signo de los cambios en cero" regla dice que justo a la derecha de $a_2$, la función es positiva.
En el intervalo de $2 < x < 3$, es decir, $a_2 < x < a_3$, la función comienza positivo y debe llegar a $+\infty$, así que vamos a hacer es positiva todo el tiempo, es decir, recoger $m_2 = 0$. Los límites de lados opuestos en $x = a_3 = 3$ tienen signos opuestos, de modo que la regla de "c" dice que $n_2 = -1$.
A la derecha de $x = a_3 = 3$, la función es inicialmente negativa; cuando llegamos a $\infty$, se nos dice que el límite debe ser cero, de modo que podemos elegir un signo de lo que ocurre a medida que se aproxima a $\infty$; tomemos el enfoque desde abajo, de modo que $m_3 = 0$.
Ahora estamos casi listos. Tenemos $$ f_1(x) = (x- (-1)) x^{-2} (x - 2)^1 (x - 3)^{-1} = \frac{(x+1)(x-2)}{x^2 (x-3)}. $$ La única pregunta que queda es si los límites de $f_1$ $x \to \pm \infty$ son correctos.
Ahora hay varios casos.
Caso 1: no Hay breakpoint con una infinidad asignado; en este caso, sólo los ceros se han especificado. Si el límite en cualquiera de los extremos se especifica como cero, entonces no hay ningún racional de la función que va a hacer todo lo necesario. Sin embargo, podemos todavía encontrar una función:
Caso 1: un límite es cero, el otro infinito: Multiplicar el $f_1$ por $e^x$ o $e^{-x}$ para lograr el comportamiento deseado en $\pm \infty$.
Caso 1b: ambos límites son cero: multiplicar el $f_1$ $e^{x^2}$ para obtener el resultado.
Caso 2: Hay un punto de ruptura, $a_p$, donde el límite es de $\pm \infty$ (o uno de los límites laterales son ambos infinitos, posiblemente de signos opuestos). Deje $s = n$ si $n$ es aún, y $s = n+1$ si $n$ es impar. Y deje $r = 0$ si $n$ es aún, y $1$ si $n$ es impar. $$ f_2(x) = f_1(x) (x - a_p)^{s} (x - b_0)^r. $$ Esta es una función del total de grado cero cuyos límites en $\pm \infty$ ambos $+1$.
El caso 2a: Si los límites deseados son tanto $0$, vamos $$ f_3(x) = f_2(x) (x - a_p)^{-2}. $$
Caso 2b: Si los límites deseados son tanto $+\infty$, vamos $$ f_3(x) = f_2(x) (x - b_0)^2. $$
Caso 2c: Si los límites deseados son tanto $-\infty$, vamos $$ f_3(x) = -f_2(x) (x - b_0)^2. $$
Caso 2d: Si los límites deseados se $-\infty$$+\infty$, vamos $$ f_3(x) = \pm f_2(x) (x - b_0). $$
Caso 2: si uno deseaba límite es cero y el otro infinito, multiplicar $f_2$ por $e^x$ o $e^{-x}$, y, a continuación, tirar en un factor de $-1$ a ajustar el signo según sea necesario.
La aplicación de todo esto a su caso, por el tiempo que hemos construido $f_1(x)$, ya tenemos la correcta límites en $\pm \infty$. Pero siguiendo a través del algoritmo, se nos dice que debemos encontrar un punto de ruptura donde el infinito es el valor asignado...vamos a usar $a_3 = 3$. Caso 2 nos dice que para construir \begin{align} f_2(x) &= f_1(x) (x - 3)^0 (x-(-1))\\ & = \frac{(x+1)(x-2)}{x^2 (x-3)} (x-(-1)) \\ & = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2 (x-3)}. \end{align}
Ahora podemos caer en el caso 2a, ya que ambos límites deseados en $\infty$ son cero. Estamos instruidos para multiplicar por $(x-3)^{-2}$, por lo que tenemos \begin{align} f_3(x) &=\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2 (x-3)^3}. \end{align}
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