Forma cerrada de$\sum\frac{1}{k}$ donde$k$ solo tiene factores de$2,3$

Question

Consideremos el conjunto que contiene a $A$ todos los enteros positivos con ningún primer el factor más grande que la de $3$, y definir $B$
$$ B= \sum_{k\in A} \frac{1}{k} $$ Por lo tanto, los primeros términos de la suma son: $$ \frac{1}{1} +\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{6} +\frac{1}{8} +\frac{1}{9} +\frac{1}{12} +\frac{1}{16} +\frac{1}{18} + \cdots $$

a) Escribir un de forma cerrada expresión para $X$ que hace de la siguiente ecuación verdadera. En otras palabras lo que la expresión debe $X$, para que el siguiente ecuación es verdadera, es decir, la escritura de $B$ en términos de $X$. $$ B = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty X $$ b) Escribe una forma cerrada de expresión para

Answer 1

Así que obviamente hay sólo dos números primos,$2$ y$3$. Así, tenemos que considerar la suma

ps

Desglosaría esto más abajo en lo siguiente:

$ \ sum_ {i \ ge0} \ frac {1} {3 ^ 0 \ cdot2 ^ i} \ sum_ {i \ ge0} \ frac {1} {3 ^ 1 \ cdot2} \ ge0} \ frac {1} {3 ^ 2 \ cdot2 ^ i} \ cdots $$

Ahora el primer término es una serie geométrica con la suma$$\sum_{j\ge0}\sum_{i\ge0}\frac{1}{2^i3^j}$. El segundo término es simplemente un tercio de eso, o$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$. Continuando, la suma entera es igual a

ps

Answer 2

En general, se utiliza la misma lógica que se utiliza para el producto de Euler. Observe que el formulario se convierte en $$(1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k})(1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k})$$ ya que tiene todas las potencias de 2 y de todas las potencias de 3 y, cuando se multiplica, tiene todas las posibles combinaciones sin repetición, y desde el primer descomposición es única, estamos seguros de que tenemos la misma serie que han requerido. Pero esto es

$$(1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k})(1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^k})=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=3$$

Si la misma pregunta para otros casos, y usted sabe que el primer número de personas implicadas $p_{1},p_{2},...,p_{m}$ usted tendrá la respuesta

$$\prod_{k=1}^{m}\frac{p_{k}}{p_{k}-1}$$