Existe un homeomorfismo que lleva cada fibra isomórficamente a sí misma, la composición... se hace rigurosa.

Question

Ver aquí por una pregunta que hice.

Dejemos que $\mu$ y $\mu'$ sean dos métricas euclidianas diferentes sobre el mismo haz vectorial $\xi$ . ¿Cómo puedo ver que existe un homeomorfismo $f: E(\xi) \to E(\xi)$ que lleva cada fibra isomórficamente sobre sí misma, de modo que la composición $\mu \circ f: E(\xi) \to \mathbb{R}$ es igual a $\mu'$ ?

Notación. Dejemos que $B$ denotan un espacio topológico fijo, que se llamará espacio base. Un haz vectorial real $\xi$ en $B$ consiste en lo siguiente:

• un espacio topológico $E = E(\xi)$ llamado el espacio total,
• un mapa (continuo) $\pi: E \to B$ llamado mapa de proyección, y
• para cada $b \in B$ la estructura de un espacio vectorial sobre los números reales en el conjunto $\pi^{-1}(b)$ .

Un haz vectorial euclidiano es un haz vectorial real $\xi$ junto con una función continua $$\mu: E(\xi) \to \mathbb{R}$$ tal que la restricción de $\mu$ a cada fibra de $\xi$ es definida positiva y cuadrática. La función $\mu$ se llamará métrica euclidiana sobre el haz vectorial $\xi$ .

Mike Miller proporcionó la siguiente respuesta.

Voy a hablar de esto en términos de productos internos en lugar de formas cuadráticas, ya que me siento más cómodo con ellos. Supongamos que tengo un espacio de producto interno $V$ . ¿Cómo construyo una isometría con $\Bbb R^n$ con el producto interior estándar? Gram-Schmidt: Elijo cualquier isomorfismo lineal para $\Bbb R^n$ y renormalizarlo para convertirlo en una isometría.

Ahora supongamos que quiero hacer lo mismo entre espacios de productos internos $V \to V'$ . Ya no tengo la suerte de tener una base elegida automáticamente por mí, así que empiezo eligiendo una base ortonormal de $V$ , un isomorfismo $V \to V'$ y ahora puedo hacer Gram-Schmidt. Se verifica que el mapa lineal resultante no depende de la elección de la base ortonormal con la que empezamos.

Voy a hacer el exactamente lo mismo en el nivel de los haces vectoriales. Tengo un isomorfismo bastante obvio $E(\xi) \to E(\xi)$ - ¡la identidad! Ahora voy a hacer el proceso de Gram-Schmidt por fibras. Empecé con isomorfismos $\xi_p \to \xi_p$ y terminé con las isometrías $f_p: (\xi_p, \mu) \to (\xi_p, \mu')$ .

Lo que necesitamos es que el proceso de Gram-Schmidt sea continuo . Esto significa que si tengo dos pares de métricas $\mu_i$ en $V$ y $\mu_i'$ en $V'$ que están "cerca", y un mapa lineal especificado entre ellos, entonces los mapas que Gram-Schimdt me da para $(\mu_i, \mu_i')$ también están "cerca". No se trata de nada especialmente ingenioso: es sólo que $\text{proj}_u v$ estará cerca, y también $u/\|u\|$ .

Mi pregunta es, ¿cómo hacer riguroso el último párrafo de Mike Miller?

Answer 1

Pista: Supongamos que el haz vectorial es localmente trivial y $B$ es paracompacto, y tienes un atlas $(U_i)_{i\in I}$ de $B$ tal que el pullback del haz a $U_i$ es trivial, demuestre primero que tal isomorfismo en el pullback del haz a $U_i$ y luego usar la partición de la unidad para pegar estos isomorfismos.