¿Cuál es el procedimiento general para "resolver" un triángulo, es decir, para encontrar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos desconocidas dadas tres longitudes de los lados y/o medidas de los ángulos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Primero, algo de notación: dejemos que $A$ , $B$ y $C$ sean las medidas de los tres ángulos y que $a$ , $b$ y $c$ sean las longitudes de los lados opuestos a esos ángulos, respectivamente. Ahora, veamos caso por caso los posibles conjuntos de información que podríamos tener.
SSS
Empecemos con el caso en el que conocemos los tres lados, $a$ , $b$ y $c$ . Podemos utilizar la Ley de los Cosenos, en la forma en que se resuelve para el coseno de un ángulo, para encontrar las medidas de dos de los ángulos, y luego utilizar el hecho de que la suma de las medidas de los ángulos es 180° para encontrar el tercero:
$$A=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$$
$$B=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$$
$$C=180°-A-B$$
SAS
Si conocemos dos lados y la medida del ángulo que incluyen, digamos $a$ , $b$ y $C$ Podemos utilizar la ley de los cosenos para encontrar la longitud lateral desconocida, y luego continuar con el proceso de SSS para encontrar los ángulos desconocidos:
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$$
$$A=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$$
$$B=180°-A-C$$
ASA o AAS
Si conocemos las medidas de dos ángulos, podemos encontrar la medida del tercer ángulo utilizando $A+B+C=180°$ Así que vamos a suponer que conocemos las tres medidas de los ángulos $A$ , $B$ y $C$ y la longitud del lado $a$ . Podemos utilizar la ley de los senos para encontrar cada una de las longitudes laterales desconocidas:
$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}$$
$$c=\frac{a\sin C}{\sin A}$$
SSA
Si conocemos las longitudes de dos lados y la medida de un ángulo que no está incluido entre los dos lados conocidos, digamos $a$ , $b$ y $A$ podemos empezar usando la ley de los senos para encontrar $B$ Pero esto puede dar dos soluciones:
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}$$
Si $\sin B=\frac{b\sin A}{a}>1$ entonces no hay solución y la información dada no determina un triángulo (es imposible que la información dada describa un triángulo).
Si $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=1$ entonces $B$ es un ángulo recto y la información dada determina un triángulo simple.
Si $\sin B=\frac{b\sin A}{a}<1$ entonces hay dos soluciones para $B$ :
$$B_1=\arcsin\left(\frac{b\sin A}{a}\right)\text{ or }B_2=180°-B_1$$
En cada caso, podemos utilizar $A+B+C=180°$ para determinar $C$ :
$$C_1=180°-A-B_1\text{ or }C_2=180°-A-B_2$$
En este punto, $B_1$ y $C_1$ describirá definitivamente un triángulo, pero si $C_2\le0$ entonces $B_2$ y $C_2$ no describen un triángulo. Si sólo tenemos el $B_1$ caso o ambos el $B_1$ y $B_2$ casos, podemos utilizar la Ley de los Cosenos para encontrar el lado desconocido:
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$$
AAA
Conocer tres ángulos sólo determina el triángulo hasta la semejanza, es decir, si no conocemos al menos una longitud, no vamos a poder encontrar ninguna longitud.
Referencia
Ley de los Cosenos
Wikipedia MathWorld $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$ $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$
Ley de los senos
Wikipedia MathWorld $$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$$
