Grupo multiplicativo módulo polinomios

Question

Al trabajar sobre $\mathbb{Z}$ es bien conocida la estructura del grupo multiplicativo $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ exactamente es: Si $n=p$ para un primo $p$ entonces $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ es el $p-1$ grupo cíclico $C_{p-1}$ . Si $n=p^e$ para un primo impar $p$ entonces $(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})^{\times}$ es de nuevo un grupo cíclico $C_{\phi(p^e)}=C_{p^e-p^{e-1}}$ . Si $n=2^e$ para $e \geq 2$ entonces $(\mathbb{Z}/2^e\mathbb{Z})^{\times}$ ya no es un grupo cíclico, sino un producto de dos grupos cíclicos. Es de la forma $C_{2} \times C_{2^{e-2}}$ . Para un número entero más general $n$ podemos utilizar simplemente el teorema chino del resto para obtener la estructura exacta de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ utilizando los resultados anteriores.

Mi pregunta es:

¿Existe un resultado similar para el grupo multiplicativo de un anillo cociente de $\mathbb{F}_{p}[X]$ donde $\mathbb{F}_{p}$ es el campo finito de $p$ elementos (donde $p$ es una potencia prima)? Es decir, ¿cuál es la estructura $$(\mathbb{F}_{p}[X]/\left<f(X)\right>)^{\times}$$ para un polinomio $f(X) \in \mathbb{F}_{p}[X]$ ?

Si $f(X)$ es irreducible, entonces este grupo es de nuevo cíclico (ya que sabemos que el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico). Pero, ¿qué ocurre en el caso más general? De nuevo, podemos utilizar el teorema chino del resto para reducir la cuestión general al caso de $f(X)$ siendo una potencia de un irreducible. Entonces, ¿qué sabemos de la estructura de $$(\mathbb{F}_{p}[X]/\left<f(X)^e\right>)^{\times}$$ para un irreducible $f(X) \in \mathbb{F}_{p}[X]$ y $e \geq 2$ ?

Answer 1

¿qué sabemos de la estructura de $({\mathbb F}_p[X]/\langle f(X)^e\rangle)^{\times}$ para un irreducible $f(X)\in \mathbb F_p[X]$ y $e\geq 2$ ?

Suponiendo que $\deg(f) = n$ , Afirmo que $({\mathbb F}_p[X]/\langle f(X)^e\rangle)^{\times}$ es isomorfo a

$$ \mathbb Z_{p^n-1}\times \left( \mathbb Z_{p}^{n(e-2\lceil\frac{e}{p}\rceil+ \lceil\frac{e}{p^2}\rceil)}\times \mathbb Z_{p^2}^{n(\lceil\frac{e}{p}\rceil -2\lceil\frac{e}{p^2}\rceil+ \lceil\frac{e}{p^3}\rceil)}\times \mathbb Z_{p^3}^{n(\lceil\frac{e}{p^2}\rceil -2\lceil\frac{e}{p^3}\rceil+ \lceil\frac{e}{p^4}\rceil)}\times \cdots\right). $$

El producto parece infinito, pero los exponentes de los factores acaban siendo cero. Por ejemplo, el grupo $\left(\mathbb F_3[x]/\langle(x^2+1)^{13}\rangle\right)^{\times}$ es es isomorfo a $\mathbb Z_8\times \left(\mathbb Z_3^{10}\times \mathbb Z_9^4\times \mathbb Z_{27}^2\right)$ .

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Sea $R = ({\mathbb F}_p[X]/\langle f(X)^e\rangle)$ y $J = \langle f(X)\rangle$ . Módulo de reducción $J$ da lugar a un homomorfismo de $R^{\times}$ en $(R/J)^{\times}$ con núcleo $1+J$ . La imagen $(R/J)^{\times}$ es isomorfo a $\mathbb F_{p^n}^{\times}\cong \mathbb Z_{p^n-1}$ , que tiene orden relativamente primo al orden del núcleo $|1+J| = |J| = p^{n(e-1)}$ . Así $$R^{\times} \cong (R/J)^{\times}\times (1+J)\cong \mathbb Z_{p^n-1}\times (1+J).$$ Queda por determinar la estructura del $p$ -grupo $(1+J)$ .

La estructura de un abeliano finito $p$ -grupo $A$ se determina por los órdenes de los aniquiladores

$$ A[p^k]:= \{a\in A\;|\;p^ka = 0\}. $$

Estas órdenes no son tan difíciles de determinar cuando $A = 1+J$ . Es decir, para $\alpha\in J$ el elemento $1+\alpha\in 1+J$ es aniquilado por $p^k$ exactamente cuando $1=(1+\alpha)^{p^k} = 1+\alpha^{p^k}$ lo que sucede exactamente cuando $f^e$ divide $\alpha^{p^k}$ que ocurre exactamente cuando $\alpha\in \langle f^{\lceil\frac{e}{p^k}\rceil}\rangle$ . Así

$$|A[p^k]| = |\langle f^{\lceil\frac{e}{p^k}\rceil}\rangle| = p^{n\left(e-\lceil\frac{e}{p^k}\rceil\right)}.$$

Lo que queda por hacer es determinar el $m_i$ en la expresión

$$ B = \mathbb Z_p^{m_1}\times \mathbb Z_p^{m_2}\times \mathbb Z_p^{m_3}\times \cdots $$

si este abeliano general $p$ -tiene aniquiladores del mismo tamaño que $A=1+J$ ; es decir, si $|B[p^k]| = |A[p^k]|$ para todos $k$ .

Se calcula que

$$ \begin{array}{rl} |B[p]| &= p^{m_1+m_2+m_3+m_4+\cdots}\\ |B[p^2]| &= p^{m_1+2m_2+2m_3+2m_4+\cdots}\\ |B[p^3]| &= p^{m_1+2m_2+3m_3+3m_4+\cdots}\\ &\textrm{ETC.} \end{array}$$ Por lo tanto, tenemos que resolver las ecuaciones

$$ \begin{array}{rl} m_1+m_2+m_3+m_4+\cdots&=n\left(e-\lceil\frac{e}{p}\rceil\right)\\ m_1+2m_2+2m_3+2m_4+\cdots&=n\left(e-\lceil\frac{e}{p^2}\rceil\right)\\ m_1+2m_2+3m_3+3m_4+\cdots&=n\left(e-\lceil\frac{e}{p^3}\rceil\right)\\ \textrm{ETC.}& \end{array} $$

La solución es $m_i = n\left( \lceil\frac{e}{p^{i-1}}\rceil-2\lceil\frac{e}{p^i}\rceil +\lceil\frac{e}{p^{i+1}}\rceil \right)$ . Por lo tanto

$$ \begin{array}{rl} ({\mathbb F}_p[X]/\langle f(X)^e\rangle)^{\times}&=R^{\times}\\ &\cong (R/J)^{\times}\times (1+J)\\ &\cong \mathbb Z_{p^n-1}\times \left( \mathbb Z_{p}^{n(e-2\lceil\frac{e}{p}\rceil+ \lceil\frac{e}{p^2}\rceil)}\times \mathbb Z_{p^2}^{n(\lceil\frac{e}{p}\rceil -2\lceil\frac{e}{p^2}\rceil+ \lceil\frac{e}{p^3}\rceil)}\times \mathbb Z_{p^3}^{n(\lceil\frac{e}{p^2}\rceil -2\lceil\frac{e}{p^3}\rceil+ \lceil\frac{e}{p^4}\rceil)}\times \cdots\right). \end{array} $$