Una pregunta sobre la función específica con esta propiedad$f(x+y)=f(x)f(y)$

Question

$$\forall x,y \in \mathbb{R} :f(x+y)=f(x)f(y) ,f(0)\neq0$$ Exponential function $ f (x) = a ^ x $ funciona bien aquí.
Mi pregunta: ¿Existe algún$\bf\color{red} {\text{other function}}$ exept de funciones exponenciales para esta propiedad?

$\bf\text{I know like this question asked before}$, pero Mi pregunta es acerca del tipo de unicidad de funciones que funcionan con esta propiedad.
Por otro lado, ¿existe una prueba de que sólo funciona la función exponencial para esa propiedad?

Answer 1

Sea$g$ cualquier función que satisfaga$g(x + y) = g(x) + g(y)$. Entonces, si establecemos$f = \exp g$,

ps

Las funciones$$f(x + y) = \exp\big(g(x) + g(y)\big) = f(x) f(y)$ son soluciones a la ecuación funcional de Cauchy, de las cuales hay muchas (típicamente construidas usando la opción), incluyendo cualquier cosa de la forma$g$.

Answer 2

De esto se demuestra que$f(rm)=\left[f(m)\right]^r$ con$r$ racional.

Solo tiene que ser$a^x$ para cada clase de equivalencia de$m$ bajo la relación$x \sim y \iff xy \ne 0 \land \dfrac xy \in \Bbb Q$.

Partición los reales bajo esta relación de equivalencia, y establecer el valor de la función en cada representante a su número real favorito, y usted tendrá una solución no en la forma$a^x$ para todos los$x$.

Answer 3

Es muy fácil demostrar que $f(0) = 1$ e si $f(1)= b$, entonces por inducción $f(n)= b^n$ para cualquier natural $n$ y $f(\frac 1n) = \sqrt[n]b$, y así para todos los $q \in \mathbb Q$ que $f(q) = b^q$ ($b^{\frac nm} = (\sqrt[m]{b})^n$).

Y así como el $\mathbb Q $ es denso en $\mathbb R$ se deduce que, si $f$ si continua, que $f(x) = b^x$.

Pero $f$ no es continua, no. Para cualquier irracional $k$ podríamos $f(k)= c$ por cualquier valor y que podríamos tener y $f(qk) = f(k)^q$ para todos racional $q$ pero como $qk$ no es racional no contradicción de necesidad. ($f(r + qk) = b^rc^q \not \in \mathbb Q$ (a menos que $q=0$)$r,q \in \mathbb Q$.)

Pero vamos a tener para cualquier $w \in \mathbb R$ que para e $q_i\in \mathbb R$ que $f(\sum q_i*w^i) = \prod f(w^i)^{q_i}$.