¿Cómo acelerar la convergencia de $1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots$?

Question

Es bien sabido

$$ \frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} +\frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \ldots $$

Estoy tratando de utilizarlo para calcular $\pi $. El problema es cómo acelerar la convergencia de la serie en el lado derecho.

La transformación de la caña no funciona porque converge sólo en una ley de potencia, no exponencial.

Answer 1

Por el de Euler-Maclaurin de la fórmula,

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\sum_{n=1}^{a-1}\frac1{n^2}+\underbrace{\int_a^\infty\frac1{x^2}~\mathrm dx}_{=1/a}+\frac1{2a^2}+\sum_{k=1}^p\frac{B_{2k}}{a^{2k+1}}+R_p$$

$$|R_p|\le\frac{4(2p)!}{(6a)^{2p+1}}$$

Elegir lo suficientemente grande como $a$ resultado será muy rápida convergencia (Euler a sí mismo al parecer evaluado esta serie, a 20 lugares, de acuerdo a la Wikipedia enlace de arriba)

Fácilmente podemos hacer lo mismo, tomando $a=10$$p=5$,

$$\frac{\pi^2}6=\tiny1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\frac1{25}+\frac1{36}+\frac1{49}+\frac1{64}+\frac1{81}+\frac1{10}+\frac1{200}+\frac1{6000}-\frac13\times10^{-6}+\frac1{42}\times10^{-7}-\frac13\times10^{-10}+\frac1{132}\times10^{-10}\pm10^{-23}$$

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Por alternancia:

$$S_+=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$$

$$S_-=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$$

Restar ellos y se obtiene

$$S_+-S_-=\sum_{n=1}^\infty\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac2{(2n)^2}=\frac12S_+$$

Por lo tanto,

$$S_+=2S_-$$

$S_-$ entonces puede ser acelerado mediante una Euler transformar,

$$S_-=\sum_{k=0}^\infty\frac1{2^{k+1}}\sum_{n=0}^k\binom kn\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}$$

Es decir,

$$\frac{\pi^2}6=\sum_{k=0}^\infty\frac1{2^k}\sum_{n=0}^k\binom kn\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}$$