Estoy interesada en condiciones suficientes para que una noción de secuencia de convergencia inducida por una topología. Más precisamente: Vamos a $V$ ser un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ dotado de una noción $\tau$ secuencial de convergencia. Cuando hay una topología $\mathcal{O}$ $V$ que hace $V$ topológico, espacio vectorial tal que "secuencias suficiente" en $(V,\mathcal{O})$, por ejemplo, $(V,\mathcal{O})$ es la primera contables, y la convergencia en $(V,\mathcal{O})$ coincide con $\tau$-convergencia? Es la topología $\mathcal{O}$ se determina únicamente?
Por una noción $\tau$ secuencial de convergencia en un espacio vectorial $V$ me refiero a una "regla" $\tau$ que se asigna a determinadas secuencias de $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset V$ (de los cuales uno se llame convergente secuencias) un elemento $v\in V$ (con un límite de $(v_n)_n$). Uno podría escribir $v_n\stackrel{\tau}{\to}v$ en este caso. Este proceso de "asignación de un límite" debe satisfacer, al menos, que cualquier constante secuencia $(v,v,v,...)$ es convergente y se le asigna el límite de $v$. También, dada una secuencia convergente $(v_n)_n$ con límite de $v$ cualquier subsequence $(v_{n_k})_k$ han $v$ como límite.
También me gustaría que este concepto de la asignación de un límite para ser compatible con la adición en $V$ y la multiplicación por un escalar.
Tal vez uno debería incluir restricciones adicionales. De hecho me gustaría saber que más suposiciones sobre esta "limitación de proceso" uno tiene que asumir con el fin de asegurarse de que esta limitación de procedimiento corresponde a una topología real en $V$, lo que hace que $V$ topológico, espacio vectorial en el cual una secuencia converge si y sólo si $\tau$-converge.
Permítanme dar dos ejemplos. Si tomamos por ejemplo un espacio vectorial topológico $(V,\mathcal{O})$, entonces tenemos una noción de convergencia en $V$ basado en el conjunto de $\mathcal{O}$ de abrir conjuntos de $V$. Esta noción de convergencia claramente satisface los supuestos anteriores en $\tau$.
Por otro lado, si tenemos en cuenta $L^\infty([0,1])$ equipada con la noción de pointwise convergencia en casi todas partes, entonces no hay ninguna topología en $L^\infty([0,1])$, lo que hace que $L^\infty([0,1])$ un televisor en el que una secuencia converge si y sólo si converge pointwise en casi todas partes. Aún así, la convergencia en casi todas partes, también satisface los supuestos anteriores en $\tau$.
Para los supuestos anteriormente en este concepto de convergencia son necesarios pero no son condiciones suficientes para lo que quiero decir por una noción de convergencia para corresponder a una topología real. La pregunta es: ¿Qué otras cuestiones que tengo que hacer?
En un menor nivel general estoy particularmente interesado en el siguiente caso: Supongamos $G\subset\mathbb{C}^d$ ser un dominio, $X$ a (complejo) espacio de Banach y deje $H^\infty(G;X)$ denotar el espacio delimitado holomorphic funciones de $f\colon G\to X$. Ahora considere la siguiente noción $\tau$ secuencial de convergencia en $H^\infty(G;X)$: se dice que una secuencia de $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset H^\infty(G;X)$ $\tau$-converge a $f\in H^\infty(G;X)$ si $\sup_{n\in\mathbb{N}}\sup_{z\in G} \|f_n(z)\|_X$ es finito y $f_n(z)$ converge en $X$ $f(z)$por cada $z\in G$. Hay una topología $\mathcal{O}$ $H^\infty(G;X)$ que "secuencias suficiente" en $(H^\infty(G;X),\mathcal{O})$ y una secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset H^\infty(G;X)$ converge w.r.t. la topología $\mathcal{O}$ si y sólo si $\tau$-converge? Es esta topología $\mathcal{O}$ único, si existe? Lo que si debemos soltar las "secuencias suficiente"-restricción? Es $(H^\infty,\mathcal{O})$ localmente convexo? Metrizable? Lo que si reemplazamos $X$ por una más general del espacio como un LCTVS o un Frechet espacio?
Gracias de antemano por cualquier sugerencia, ideas o referencias.
