Tercer anexo de ley y la masa de Kepler

Question

La tercera ley de Kepler establece que:

\begin{equation} \frac{T^2}{R^3}=\frac{4\pi^2}{G(M+m)} \end{equation}

Donde $T$ es el período del movimiento orbital, $R$ es el semimajor eje, $M$ es la masa del sol y de la $m$ es la masa del planeta.

Esto es contrario a la intuición para mí, porque yo creía que gravitacional de movimiento es independiente de la masa del planeta en órbita, ya que la masa de $m$ cancela desde el principio, cuando uno de los estados de la ley de newton. Además, pensé que esto tenía que ver con algunas cosas fundamentales asociadas con la gravedad es una teoría geométrica que no depende de su masa, pero sólo en la geometría de su trayectoria.

¿Por qué el período depende de la masa del planeta?

Answer 1

El $M+m$ en la tercera ley de Kepler es un vestigio de la reducción de la masa asociada a los dos cuerpo a cuerpo problema. A grandes rasgos podemos asignar un acoplado y complicado sistema de dos partículas que interactúan en un problema equivalente de ecuaciones diferenciales desacopladas, uno de ellos describe el movimiento de una partícula de masa reducido $\mu$ bajo una central de potencial correspondiente a la interacción gravitatoria.

Mediante la integración de la segunda ley de Kepler, $dA/dt=L/2\mu$, a través de una órbita completa obtenemos $$\frac AT=\frac{L}{2\mu},$$ donde $A$ es el área de la órbita y $L$ el momento angular de la partícula de masa $\mu$. Por simplicidad, consideremos una órbita circular o radius $R$. Entonces $$T^2=\frac{4\pi^2\mu^2R^4}{L^2}.\tag1$$ En la órbita circular, la fuerza centrífuga de los partidos de la gravedad, por lo tanto $$\frac{GMm}{R^2}=\mu\omega^2R=\mu R\frac{L^2}{\mu^2R^4},$$ desde $L=\mu R^2\omega$. La solución para $\mu^2 R^4/L^2$ y volver a conectar en (1) obtenemos $$T^2=\frac{4\pi^2R^3}{G(M+m)}.$$

Tenga en cuenta que para el sistema solar, normalmente tenemos $M\gg m$, por lo que normalmente negligencia $m$.

Answer 2

La afirmación de que la masa del cuerpo más pequeño puede ser ignorado es una aproximación útil en muchas situaciones del mundo real. La diferencia entre el $M$ $M+m$ para el sistema tierra-luna es de sólo 1%. Para la tierra y los satélites o el sol y los planetas, esta cantidad puede ser ignorado a menos que usted está consiguiendo en varios puntos decimales de precisión.

A menudo estos fórmula simplificada vienen con el supuesto de que $M \gg m$.

La razón de la masa del cuerpo más pequeño que importa es que el campo gravitatorio se mueve a través de no es estática, sino que depende de otro cuerpo. El cuerpo más pequeño es capaz de acelerar el más grande, de modo que el campo cambia a lo largo del tiempo, y este cambio reduce el período.

$m$ sólo se anula en el límite de que el campo gravitatorio es estático.

Answer 3

Uno tiene que considerar el significado de la $R$, ya que normalmente el semi-eje mayor se puede referir a la mitad de la distancia entre el periapsis y apoapsis desde la perspectiva de un centro de masa de los dos cuerpos celestes (suponiendo que sólo un dos cuerpo a cuerpo problema). Sin embargo, en este caso se está refiriendo realmente a las distancias entre los dos cuerpos.

Para una órbita circular esto puede ser demostrado para ser cierto, pero también debe mantener para órbitas elípticas. El cuerpo de masa $m_1$ seguirá orbitando a una distancia de $r_1$ desde el centro de la masa y El cuerpo de masa $m_2$ seguirá orbitando a una distancia de $r_2$ desde el centro de la masa. Como se dijo antes, $R = r_1 + r_2$ y desde el centro de masa de ello se sigue que $m_1\,r_1 = m_2\,r_2$. La solución para $r_1$ $r_2$ da $r_1 = m_2\,R\,(m_1 + m_2)^{-1}$$r_2 = m_1\,R\,(m_1 + m_2)^{-1}$. El total de la fuerza entre los dos cuerpos se sigue la ley de Newton de la gravitación

$$ F_g = \frac{G\,m_1\,m_2}{R^2}. \etiqueta{1} $$

Pero cada cuerpo se mueve a lo largo de su propia trayectoria circular en torno al centro de masa común. Es decir, si un cuerpo es sometido únicamente a una fuerza constante de magnitud perpendicular a su velocidad se moverá a lo largo de una trayectoria circular a una velocidad constante de acuerdo a

$$ F_{\asesino} = \omega^2\, r_i\, m_i, \etiqueta{2} $$

con $\omega = 2\,\pi\,T^{-1}$ la velocidad angular. La única fuerza que actúa sobre cada cuerpo es la gravedad, por lo $F_{\perp} = F_g$. La equiparación de los lados de la parte derecha de las ecuaciones de $(1)$ $(2)$ y, o bien sustituyendo en la $1$ o $2$ $i$ da

$$ \frac{G\,m_1\,m_2}{R^2} = \frac{4\,\pi^2\, m_1\,m_2\,R}{T^2 (m_1 + m_2)}. \etiqueta{3} $$

Simplificando esta expresan, de hecho, da

$$ \frac{T^2}{R^3} = \frac{4\,\pi^2}{G (m_1 + m_2)}. \etiqueta{4} $$

Sin embargo, si usted prefiere definir el semi-eje mayor de la mitad de la distancia entre el periapsis y apoapsis desde la perspectiva de un centro de masa, entonces la ecuación de $(4)$ puede ser reescrito para

$$ \frac{T^2}{r_1^3} = \frac{4\,\pi^2 (m_1 + m_2)^2}{G\,m_2^3}, \etiqueta{5} $$

$$ \frac{T^2}{r_2^3} = \frac{4\,\pi^2 (m_1 + m_2)^2}{G\,m_1^3}. \etiqueta{6} $$

Sin embargo, cuando se $m_1 \gg m_2$, entonces la ecuación de $(6)$ todavía se simplifica a

$$ \frac{T^2}{r_2^3} = \frac{4\,\pi^2}{G\,m_1}. \etiqueta{7} $$

Answer 4

Desde la perspectiva de tratar de entender cómo la masa del planeta en órbita podría afectar su período, considere que a pesar de la aceleración de un objeto en un campo gravitacional no depende de la masa del objeto ($ a = \frac{GM}{r^2} $), el movimiento de la masa es más grande, se ve afectada por la masa del objeto más pequeño. El movimiento de los objetos más grandes inducida por la presencia del objeto más pequeño a lo largo del tiempo puede hacer que la distancia entre los dos objetos depende de la masa de uno más pequeño, y la aceleración sentida por el de menor masa está directamente relacionada con la distancia entre los dos objetos.