Si $\operatorname{Ker} f$ es un %#% en $G_\delta$ #%, entonces $X$ es continua

Question

$X$ es un espacio de Banach y $f$ ser un lineal funcional de $X$ $\mathbb{C}$. Si $\operatorname{Ker} f$ es un %#% en $G_\delta$ #%, $X$ es continuo.

Sé que si $f$ está cerrado, entonces $\operatorname{Ker} f$ es continua. El argumento se basa en conseguir una esfera de radio $f$ $r$ y luego demostrando $(\operatorname{Ker} f)^c$.

Estaba intentando extendió esta idea al problema anterior, pero no. Cualquier Consejo / sugerencia.

Answer 1

Supongamos $f$ es ilimitado. A continuación, su núcleo es denso en $X$ (como lo señaló la Mechanodroid). Deje $U = X\setminus\operatorname{Ker} f$; por supuesto, esta es una contables de la unión de conjuntos cerrados $F_n$, $n\in\mathbb N$. Cada una de las $F_n$ ha vacío interior, debido a $\operatorname{Ker}f $ es densa.

Elija cualquiera de los vectores $x_0$ tal que $f(x_0)\ne 0$. Tenga en cuenta que cada punto de $x\in X$ es de $U$ o en $U+x_0$. Por lo tanto, $$ X = \left(\bigcup_{n=1}^\infty F_n \right) \cup \left(\bigcup_{n=1}^\infty (F_n +x_0)\right) $$ Pero un completo espacio métrico no puede ser escrito como una contables de la unión de conjuntos cerrados con vacío interior, por categoría de Baire teorema.