¿Hay alguna forma de resolver esta singularidad en la integración numérica?

Question

Me gustaría calcular numéricamente, por ejemplo, utilizando el método estándar de los trapecios, la siguiente integral definida sobre la interfaz $[0,1]$ : $$ I = \int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d} x \, , $$
donde $f(x)$ es continua en el intervalo [0,1]. Se puede demostrar analíticamente que la integral es convergente. Sin embargo, cuando se procede numéricamente, surgen dificultades, ya que el integrando diverge en el límite superior de integración para $x=1$ .

Me preguntaba si existe algún procedimiento que pueda ayudar a eliminar la singularidad en esta integral. Cualquier ayuda es muy apreciada

Gracias, señor,

hartmut

Answer 1

Es fácil convertir tu integral en una sin singularidades mediante la sustitución $x=\sin\theta$ : $$I=\int^{\pi/2}_0f(\sin\theta)\,d\theta.$$ Si tienes suerte de tener una función $f$ que sea par (para que $I$ es sólo una cuarta parte de la integral durante todo el periodo, de $-\pi$ a $\pi$ ), puede que te sorprenda gratamente la velocidad de convergencia de la regla trapezoidal en esta situación especial.

Answer 2

Una técnica general consiste en eliminar la singularidad trasladándola a una función analíticamente integrable:

$$\int_0^1\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int_0^1\frac{f(x)-f(1)+f(1)}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int_0^1\frac{f(x)-f(1)}{\sqrt{1-x^2}}dx+f(1)\left.\arcsin(x)\right|_0^1.$$

El límite del integrando en $x=1$ debe ser finito.

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Por ejemplo, con $f(x):=x$ ,

$$\frac{x-1}{\sqrt{1-x^2}}=-\sqrt{\frac{1-x}{1+x}},$$ que se comporta bien.

Answer 3

Las otras respuestas hasta ahora se centran en cómo transformar la integral para no tener una singularidad. Pero eso no siempre es viable, así que es importante saber cómo tratar una singularidad cuando existe.

La regla del trapecio es una mala elección para este caso, porque utiliza los valores de la función en los puntos extremos, que pueden ser infinitos. La regla de Simposon tendrá un problema similar.

Más apropiada es la regla más primitiva del rectángulo. Es decir, dividir el dominio en segmentos y multiplicar la anchura de cada segmento por el valor de la función en el punto medio del segmento. Esto funcionará ya que nunca se intenta muestrear la función en los infinitos puntos extremos.

Alternativamente, si desea una convergencia más rápida, puede utilizar el más sofisticado y extremadamente potente Cuadratura gaussiana . Es más complicado, pero merece la pena conocerlo. También en este caso se divide el dominio en intervalos. Para cada intervalo, muestreas la función en unos pocos puntos cuidadosamente elegidos para obtener una precisión sorprendentemente alta.

Existen diferentes métodos en función del número de puntos de cada intervalo, pero el más sencillo es el de 2 puntos. Y de nuevo, funcionará con singularidades, ya que los puntos finales de los intervalos no se muestrean.

Existe incluso una variante de la cuadratura de Gauss adaptada específicamente para una función bien comportada multiplicada por $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ llamada Cuadratura Chebyshev-Gauss . Para utilizarlo, ni siquiera tienes que dividir a intervalos - sólo tienes que elegir $n$ (cuanto mayor sea $n$ cuanto mayor sea la precisión) y tendrá

$$\int_{-1}^1\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\approx\frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^nf\left(\cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right)\right)$$

Lo cual es muy parecido a transformar la integral como sugerían otras respuestas. Se maximizará la precisión que puede tener para un número dado de muestras de la función $f$ y la convergencia es exponencial.

Answer 4

Como tu integral está sobre un subconjunto del intervalo $(-1,1)$ , su $f$ es continua en ese intervalo, y su integrando sólo tiene singularidades en la frontera de ese intervalo, cuadratura tanh-sinh es un método candidato para usted.

Esto cambiará su intervalo de integración a $[0,\infty]$ pero el integrando decaerá doble exponencialmente, (por ejemplo, como $\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^n}$ ), por lo que el truncamiento en el punto final derecho finito no tiene por qué ser significativo.

Puede continuar con su plan de utilizar el método trapezoidal con tamaño de paso $h$ utilizando los puntos de muestra $x_k = \tanh(\frac{\pi}{2} \sinh kh)$ y pesos $w_k = \frac{h \pi}{2} \cdot \frac{\cosh kh}{\cosh^2( \frac{\pi}{2} \sinh kh)}$ . Por ejemplo, el área de su primer trapecio sería $$ A_0 = \frac{x_1 - x_0}{2} \left(\frac{w_0 f(x_0)}{\sqrt{1 - x_0^2}} + \frac{w_1 f(x_1)}{\sqrt{1 - x_1^2}} \right) \text{.} $$ Sólo usando $x_k$ y $w_k$ en una suma de Riemann izquierda, (y reduciendo a la mitad $w_0$ al sumar de esta forma) la convergencia es exponencial: reducir a la mitad $h$ duplica el número de dígitos correctos. El análisis de errores sugiere que la regla trapezoidal aplicada aquí debería mejorar ligeramente la convergencia (aunque quizá no merezca la pena el "esfuerzo" en comparación con calcular simplemente $\sum_{k=0}^\infty w_k \frac{f(x_k)}{\sqrt{1-x_k^2}}$ , deteniéndose cuando los términos son lo suficientemente pequeños como para cumplir sus requisitos de precisión y exactitud o cuando $1-x_k$ o $w_k$ es tan pequeño que no se puede representar fácilmente).

Ejemplo: $f(x) = 1 $ :

El valor de la integral es $\frac{\pi}{2} = 1.57079\dots$ . Utilizando la suma de Riemann a la izquierda (y reduciendo a la mitad $w_0$ ), con $h = 1/10$ y se detiene cuando $k=20$ (porque $1-x_k$ y $w_k$ son sobre $10^{-5}$ ), la suma es $1.5659 \dots$ . Continuación $k = 27$ obtiene $1.57079\dots$ .

• Con $h = 1/20$ parando en $k = 40$ ( $1 - x^k$ en torno a $10^{-5}$ y $w_k$ en torno a $10^{-36}$ ), se obtiene $1.56504\dots$ .
• Con $h = 1/20$ parando en $k = 54$ ( $1 - x^k < 10^{-6}$ y $w_k$ en torno a $10^{-150}$ ), se obtiene $1.57078\dots$ . (Un cálculo de precisión arbitraria da un error de aproximadamente $5 \times 10^{-12}$ cuando sumamos $70$ términos).

Sólo estamos sumando decenas de términos para obtener estos resultados...

Answer 5

Me gusta el método del profesor Vector, pero aquí hay una forma de aprovechar la integrabilidad de $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ en $(0,1)$ .

Utilizando la integral $$ \int_0^1\frac{a+bx}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi a}2+b $$ podemos escribir $$ \int_0^1\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\int_0^1\frac{f(x)-(1-x)f(0)-xf(1)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x+\left(\frac\pi2-1\right)f(0)+f(1) $$ Si $f$ es suave en $0$ y $1$ el integrando de la derecha desaparece en $0$ y $1$

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Una lección de reflexión

Me preguntaba por qué $f(0)$ y $f(1)$ tenían pesos diferentes. Entonces me di cuenta de que $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ no tiene una singularidad en $0$ . No necesitamos restar $(1-x)f(0)$ en absoluto. Si bien la fórmula que doy arriba es correcta, estaba pensando en $\sqrt{x(1-x)}$ en el denominador, que hace tienen una singularidad en $0$ y $1$ . ¡Doh!