No es que la teoría de conjuntos es inadecuada para algunos aspectos del álgebra homológica, sino que el lenguaje proporcionado por categoría de la teoría es muy potente y muy expresivo para los efectos de algunas áreas en las matemáticas, en particular de álgebra homológica. Lógicamente la teoría de conjuntos es perfectamente adecuada, ya que todos los de álgebra homológica se puede expresar en $ZFC$. Pero, al igual que algunos de los lenguajes de programación son más adecuados para ciertas tareas, a continuación, a los demás (pero en última instancia todos ellos son equivalentes a código máquina) por lo que es en las matemáticas que en la elección de un lenguaje de base puede ser adecuado para ciertas cosas más que a otras.
Tradicional de la teoría de conjuntos, desde el Cantor, sirve como un muy riguroso fundaciones y proporciona una fuerte y consistente lenguaje común para hablar de matemáticas. Pero, está centrado en los conjuntos y, por consiguiente, en la teoría de conjuntos es (advertencia: entrar en la filosofía de ahora) estática. Incluso la noción de función como una relación en la satisfacción de un es una visión estática de lo que es una función de.
En la categoría de la teoría (filosófico) el contraste se hace énfasis en los morfismos. Estos son los términos indefinidos y el resultado de lenguaje es muy poderoso en la expresión de las interrelaciones entre las estructuras y entre construcciones en matemáticas.
Esto no quiere decir que uno es bueno y otro es malo, o que uno es adecuado y la otra no. Es decir que para ciertas cosas de un formalismo puede ser más adecuado que el otro. Sin duda la categoría de la teoría del formalismo es superior al considerar el álgebra homológica (o topología algebraica en términos más generales). En otras áreas de las matemáticas (por ejemplo, para el mejor de mi conocimiento, combinatoria) parece que hay poco que ganar de la categoría de formalismo.
Ahora, se descubrió que la categoría de la teoría también puede ser utilizado como una base para la lógica y hay muchas diferencias entre categórica de la lógica clásica y la lógica. Aquí, de nuevo, un formalismo puede ser más adecuado que otro, dependiendo de la finalidad. Por ejemplo, parecería que para constructivo y intuitionistic lógica topos teoría proporciona un ajuste muy natural, más que la clásica de conjunto de la teoría. Para la lógica clásica es discutible cuánto mérito hay en la adopción de la topo enfoque teórico. Técnicas clásicas como Cohen obligando puede ser entendido bastante bien a través de la teoría de topos, pero se puede argumentar que la visión que ofrece no es lo suficientemente importante como para justificar el abandono de las técnicas estándar para los nuevos. Es una cuestión de gusto.
Particularmente en la teoría de la homología un lenguaje que permite fácilmente hablar de procesos, procesos entre los procesos, y las comparaciones entre tal es crucial. Todo lo que se puede expresar en $ZFC$, pero de lo que sería de no ver el bosque por los árboles (o más bien no sería de ver la estructura de los objetos). Cuando la lengua habla de morfismos y no objetos que uno puede ignorar los objetos y concentrarse en los procesos y por lo tanto a partir de ver la estructura.
