Sea $f$ sea una función analítica real no polinómica. Supongamos que la función $f$ asume valores arbitrariamente grandes y arbitrariamente pequeños, es decir, para todo $K>0$ hay $a,b$ con $f(a)<K$ y $f(b)>K$ .
Mi pregunta es:
¿Podemos encontrar condiciones suficientes y necesarias para garantizar que esta propiedad persiste para las derivadas $f^{(k)}, k=1,2,..$ .
No es una respuesta completa, pero la publicaré de todos modos. Con un poco de suerte, llamará la atención lo suficiente como para corregir los probables errores de mi razonamiento y aportar pruebas fehacientes de las "creencias" que se exponen a continuación.
Para mayor claridad, repetiré lo que se ha respondido en los comentarios.
Empecemos con funciones que tienen límites bien definidos (a $\pm \infty$ ) cuando $x \to \mp \infty$ . Entonces una y exactamente una de las siguientes afirmaciones debe ser cierta:
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\; \text{ and } \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \tag{1}$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\; \text{ and } \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \tag{2}$$
En caso de que $f(x)$ es monótona creciente (decreciente), la derivada es positiva (negativa) para todos los valores de $x \in \Bbb{R}$ por lo que no se cumplen los criterios establecidos en la pregunta.
Creencia 1: $f(x)$ es no monótono creciente o decreciente.
Mi corazonada es que cualquiera de los criterios $(1)$ o $(2)$ es suficiente para que $f(x)$ violan las condiciones de la pregunta.
Creencia 2: $f(x)$ hace no tienen límites bien definidos cuando $x \to \pm \infty$ .
Esto implica la siguiente creencia:
Creencia 3: Una condición necesaria es que $f(x)$ tiene una oscilación cuya magnitud crece hasta el infinito a medida que $x \to \pm \infty$ .
No estoy seguro de si esta condición también es suficiente (o incluso necesaria), pero no se me ocurre ninguna función que la incumpla.
Como ejemplo de una función analítica real que creo que tiene las propiedades de la pregunta, tomemos $$f(x) = (e^x - e^{-x})\sin kx$$ cuya derivada es $$f'(x) = e^{-x} \left[\left(e^{2 x}+1\right) \sin kx+k \left(e^{2 x}-1\right) \cos kx\right]$$
Creo que es analítica real, ya que se construye a partir de sumas y multiplicaciones de funciones analíticas reales.
Una parcela de $f(x)$ :
Una parcela de $f'(x)$ :
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