Es $Out(F_n)$ de tipo de FP$_\infty$

Question

Es $Out(F_n)$ tipo $FP_\infty$?

$Out(F_n)$ hechos en el espacio Ultraterrestre $X_n$ que es finito dimensional, localmente finito y contráctiles. Sin embargo, la acción sólo es adecuada (estabilizadores de los puntos corresponden a los grupos de isometrías de grafos finitos), no es gratuito. Puede que esto de alguna manera se convirtió en $FP_\infty$?

Answer 1

Sí, $Out(F_n)$ es de tipo $FP_\infty$.

También ver por qué, en primer lugar, el grupo $Out(F_n)$ tiene una torsión de libre subgrupo de índice finito (un teorema de Serre), es decir, $$IA_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) = \text{kernel} \bigl ((F_n) \SL(n,\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\bigr) $$

Segundo, $FP_\infty$ es invariante bajo pasaje a los subgrupos de índice finito. Por lo que es suficiente para demostrar que $IA_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$$FP_\infty$.

Tercero, $Out(F_n)$ actúa correctamente de forma discontinua en un contráctiles simplicial complejo con un número finito de órbitas de las células y finita de células de los estabilizadores, es decir, $K_n =$ la columna vertebral del espacio ultraterrestre $X_n$ (ver Vogtmann de la encuesta).

Finalmente, la acción restringida de $IA_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ $K_n$ no sólo es propiamente discontinua, y no sólo tiene un número finito de órbitas de las células, pero su celular estabilizadores son triviales (porque es de torsión libre y es la restricción de un propiamente discontinuo de acción con finito de células estabilizadores). La acción de la $IA_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ $K_n$ es, por tanto, libre. Esto es suficiente para concluir que $IA_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$$FP_\infty$.