la triangulación n-dimensional del cubo en exactamente n! simplices

Question

Esta pregunta es similar a Encontrar el más pequeño de la triangulación de la n-dimensional , pero más fácil :

Cómo mostrar los n-dimensional del cubo puede ser trianguladas en exactamente n! simplices?

Answer 1

Escoge un vértice de su $n$-cubo. Este vértice ha $n$ hyper-caras frente a él. Cada hyper-cara es un $(n-1)$-cubo y se triangula en $(n-1)!$ copias de $(n-1)$-simplex. La formación de cascos convexos con el original vértice da $n! = n \times (n-1)!$ copias de $n$-simplex.

Answer 2

Si el cubo tiene coordenadas $x_i$ ($1\leq i\leq n$, $0\leq x_i\leq 1)$ a continuación, para cada permutación $\sigma\in S_n$ tiene el simplex dado por $0\leq x_{\sigma(1)}\leq x_{\sigma(2)}\leq\dots\leq x_{\sigma(n)}\leq 1$.

Answer 3

Usted puede triangular $Δ^n × I$ en $(n + 1)$ $(n + 1)$-simplices ($Δ^n$$n$- simplex, $I$ es la unidad de intervalo de $[0, 1]$). Ver [Hatcher, la Prueba de 2.10] donde se utiliza para probar homotopy la invariancia de homología singular. La idea es la siguiente: Vamos a $[v_0, …, v_n]$ ser el simplex $Δ^n × \{0\}$$[w_0, …, w_n] = Δ^n × \{1\}$. A continuación, la triangulación es $\{[v_0, …, v_i, w_i, …, w_n]: i ≤ n\}$.

Ahora usted puede triangular el cubo de forma inductiva: $I^n = I × \bigcup_{i < (n - 1)!} Δ_i^{n - 1} = \bigcup_{i < (n - 1)!} \bigcup_{j < n} Δ_{ij}^n$.