Conjunto de todos los puntos en los que $X$ está conectada localmente

Question

La siguiente pregunta se me ocurrió mientras leía sobre la conectividad local:

Dejemos que $$S := \{x \in X \mid X \text{ is locally connected at } x \},$$ donde $X$ es un espacio topológico. Es $S$ generalmente abierto en $X$ ? Si no es así, supongamos que lo es. ¿Nos diría esto mucho sobre el espacio $X$ ?

Esta es la definición de conectividad local con la que estoy trabajando:

Un espacio $X$ se dice que está localmente conectado en $x$ si para cada barrio $U$ de $x$ hay una vecindad conectada $V$ de $x$ contenida en $U$ .

Answer 1

Dejemos que

$$X = \{0\} \times\mathbb{R} \cup \bigcup_{n = 1}^{\infty} \{ (x,y) : (x-n)^2 + y^2 = n^2\},$$

en la topología del subespacio inducido por $\mathbb{R}^2$ .

Entonces $X$ está localmente conectada en $(0,0)$ - todo $B_r((0,0)) \cap X$ para $r > 0$ está conectado - pero $X$ no está conectado localmente en ningún $(0,y)$ con $y \neq 0$ Así que $S$ no está abierto.

En general, $S$ ser abierto por sí solo no nos dice mucho sobre $X$ . $S$ es por supuesto localmente conectada entonces, y el exterior de $S$ no está conectada localmente, pero ambas cosas pueden ocurrir de muchas maneras.

Answer 2

¿Nos diría esto mucho sobre el espacio $X$ ?

Puede decirnos algo sobre lo agradable incrustaciones de $S$ y, por extensión, algo sobre $X$ .

Si $X$ es compacto y $S$ está abierto, entonces la contracción $X\setminus S$ a un solo punto $\infty$ produce un espacio compacto localmente conectado $S\cup \{\infty\}$ . En particular, $X$ mapea en un espacio localmente conectado a través de una extensión continua de la identidad en $S$ .

Este es un resultado muy bueno si usted está interesado en compactaciones .

El teorema 4.1 en este documento también dice que $X$ es localmente conectado si $\overline S=X$ y $X\setminus S$ está totalmente desconectado. Por ejemplo, considere $X=[0,1]$ , $S=(0,1)$ y $X\setminus S=\{0,1\}$ . Compárese con la curva sinusoidal de los topólogos.

Answer 3

Básicamente no hay "resultados generales" sobre este conjunto, ni siquiera en entornos muy agradables.

'Conectados localmente': X tiene un Abrir base de vecindad de conjuntos conectados en $x$ .

'Connected im Kleinen': X tiene una base de vecindad de conjuntos conectados en $x$ .

Por lo tanto, tu definición es lo que se suele llamar cik (aunque a veces, la primera se llama 'fuertemente conectada localmente' y tu definición es 'localmente conectada'). Esta última es estrictamente más débil que la primera, incluso en el caso de los continuos (espacios métricos compactos y conectados). Incluso en el caso de espacios simplemente conectados $1$ -continua plana de dimensiones. Comprueba el punto final correcto aquí.

Este conjunto no es necesariamente abierto, pero puede serlo. Este conjunto no es necesariamente cerrado, pero puede serlo. Este espacio puede tener un número finito, infinito o incontable de componentes. Puede o no separar $X$ . Es más fácil mirar su complemento, $N(X) = \lbrace x \in X : X$ no es cik en $x \rbrace$ .

En la curva sinusoidal del topólogo, $N(X)$ es cerrado, y tanto él como su complemento tienen un componente. En la curva del seno de dos lados del topólogo, $N(X)$ separa $X$ . Si se "encadena" una secuencia infinita de curvas sinusoidales de topólogos para que converjan a un punto, entonces todo se separa y $N(X)$ no está cerrado, ya que el "punto final" será cik (incluso lc). En ese caso, tanto $N(X)$ y su complemento tienen un número infinito de componentes.

$N(X)$ en el Peine de Cantor tiene incontables componentes. Para obtener un número incontablemente infinito de componentes en $S$ , adjunta un abanico de Cantor al punto $(0,1)$ en la curva sinusoidal del topólogo.