Uno no puede simplemente responder a esta pregunta. Es demasiado amplio. Pero supongo que la historia comienza a partir del teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos en el avión puede ser usada como una medida de la distancia entre los puntos en las coordenadas x-y en $\mathbb{R}^2$. Podría probar un teorema similar para la distancia entre dos puntos en el espacio 3-dimensional utilizando el teorema de Pitágoras y, a continuación, que acaba de generalizar la fórmula para el n-dimensional de los espacios por parte de la definición de esa manera. De esta manera se puede definir el concepto de distancia a un sistema de coordenadas Cartesianas para cualquier dimensión. El concepto de distancia es muy importante en su propia debido a que muchos matemáticos y estadísticos de las propiedades se definen utilizando la distancia. Por ejemplo, antes de que los matemáticos crear la topología, el límite de una secuencia se define de forma tal que a medida que n tiende a infinito, la distancia entre los términos de la secuencia y el límite de la secuencia se vuelve despreciable. La idea de la distancia es generalizada por una métrica de la función que nos da la " métrica de los espacios que son uno de los más estudiados tipos de espacios topológicos. Por otro lado, como Gauss demostró, usted puede estudiar geometrías no Euclidianas realizados por una generalización de la distancia Euclidiana a algo de la forma$\mu_{11}(dx)^2 + 2\mu_{12}(dx)(dy)+\mu_{22}(dy)^2$, lo que da la distancia entre dos cerca de puntos de una curva de 2 dimensiones de la superficie. Algo como esto se llama una forma cuadrática y es una generalización de la suma de los cuadrados. Riemann después generalizado de Gauss idea a dimensiones superiores.
Otra cosa que hay que destacar es que se puede escribir la formas cuadráticas por matrices, ver que artículo de la wikipedia para obtener más detalles. Esto es muy importante porque entonces usted puede utilizar las herramientas de álgebra lineal para el estudio de la formas cuadráticas y esto es una GRAN ventaja. Hay algunas muy bonitas teoremas sobre la formas cuadráticas. Por ejemplo, es posible simplificar una forma cuadrática en una suma de cuadrados como se puede leer sobre él en que artículo de la wikipedia. Por desgracia, no sabemos mucho acerca de las formas cúbicas o formas de grados superiores. Habíamos conocido tan bien como conocemos cuadrática, entonces, es que hubiera sido mucho más fácil tratar con ellos. Hubiera sido un gran avance en la teoría de curvas elípticas, por ejemplo. Así que, después de todas las tonterías que he escrito, quiero decirles que los objetos de interés para los matemáticos son en realidad formas cuadráticas, no sólo la suma de los cuadrados, y la suma de los cuadrados son un caso especial de la formas cuadráticas. Y la razón de esto es principalmente porque tenemos más herramientas para su estudio. Es por eso que entendemos la naturaleza de las secciones cónicas y sus 3-D homólogos de la manera mejor que la forma de entender la naturaleza de curvas elípticas,...
