Encontrar un polinomio sobre $\mathbb{Q}$ con un determinado grupo de Galois.

Question

¿Cómo puedo encontrar un polinomio sobre $\mathbb{Q}$ dada su grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$.

¿Tengo que adivinar, es decir, elegir al azar polinomios y calcular sus grupos de Galois, o hay un método inteligente?

Yo estoy pidiendo esto, porque tengo una tarea que pide a encontrar un polinomio sobre $\mathbb{Q}$, de tal forma que su grupo de Galois es$\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3$$\mathbb{Q}$.

Answer 1

Para un finito dado abelian grupo $ G $, es relativamente sencillo algoritmo que produce una extensión de Galois $ L/\mathbf Q $ con grupo de Galois $ G $. Entonces, el polinomio mínimo de cualquier elemento primitivo de esta extensión de Galois grupo$ G $$ \mathbf Q $.

Para este algoritmo, el uso de la estructura teorema para finitos abelian grupos de escribir

$$ G \cong C_{n_1} \times C_{n_2} \times \ldots \times C_{n_k} $$

para algunos $ n_i $. Ahora, encontrar diferentes números primos $ p_1, p_2, \ldots, p_k $ tal que $ p_i \equiv 1 \pmod{n_i} $ por cada $ i $. (Los números primos siempre existe por parte del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas.) Deje $ d = p_1 p_2 \ldots p_k $, y deje $ \zeta $ ser una primitiva $ d $th raíz de la unidad. Entonces, tenemos que

$$ \textrm{Gal}(\mathbf Q(\zeta_d)/\mathbf Q) \cong (\mathbf Z/d\mathbf Z)^{\times} \cong \prod_{i=1}^k (\mathbf Z/p_i \mathbf Z)^{\times} \cong \prod_{i=1}^k C_{p_i - 1} $$

Ahora, quotienting este grupo por el subgrupo

$$ H = \prod_{i=1}^k C_{(p_i - 1)/n_i} $$

da el grupo $ G $, y quotienting por $ H $ es equivalente a encontrar el grupo de Galois del campo fijo de $ H $$ \mathbf Q $. Por lo tanto, el campo fijo de $ H $ $ \mathbf Q(\zeta_d) $ es una extensión de Galois de $ \mathbf Q $ con grupo de Galois $ G $.

Vamos a ver cómo funciona esto en la práctica. Queremos encontrar una extensión de Galois de $ \mathbf Q $ con grupo de Galois $ C_3 \times C_3 $, por lo que queremos que dos primos que son de $ 1 $ modulo $ 3 $. Podemos optar $ p_1 = 7 $$ p_2 = 13 $, por lo que el $ d = 91 $. El campo fijo de $ H $ es, entonces, el compositum de la cúbico subcampos de $ \mathbf Q(\zeta_7) $$ \mathbf Q(\zeta_{13}) $. Con la ayuda de Wolfram y el normal teorema de la base, podemos encontrar que estos cúbicos de los subcampos son la división de los campos de $ X^3 + X^2 - 2X - 1 $$ X^3 + X^2 - 4X + 1 $, respectivamente. Por lo tanto, el producto

$$ (X^3 + X^2 - 2X - 1)(X^3 + X^2 - 4X + 1) $$

es un polinomio con grupo de Galois $ C_3 \times C_3 $$ \mathbf Q $.